Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают

Любое целое число х, которое при разделеньи на 9 дают в остатке 4, можно записать в виде:
х = 9 * n + 4,
где n - некоторое целое число.
При n = 1 мы получаем 1-ое положительное число, которое при дроблении на 9 дает в остатке 4. Это число одинаково 13 и он является двузначным.
Найдем последнее двузначное число, которое при дробленьи на 9 дает в остатке 4. Для этого решим неравенство:
9 * n + 4 lt;= 99;
9 * n lt;= 99 - 4;
9 * n lt;= 95;
n lt; = 95 / 9;
n lt; = 10 5/9.
Как следует, при n = 10 мы получим последнее двузначное число, которое при дробленьи на 9 дает в остатке 4.
Покажем, что последовательность аn = 9 * n + 4 является арифметической прогрессией. Найдем разность аn+1 - аn:
аn+1 - аn = 9 * (n + 1) + 4 - 9 * n - 4 = 9 * n + 4 - 9 * n - 4 + 9 = 9.
Следовательно, последовательность аn = 9 * n + 4 является арифметической прогрессией с первым членом а1 = 13 и разностью d = 9. Найдем сумму S10 первых 10-ти членов данной прогрессии, которая и будет одинакова сумме всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4:
S10 = (2 * a1 + d * (10 - 1)) * 10 / 2 = (2 * a1 + d * 9) * 5 = (2 * 13 + 9 * 9) * 5 = (26 + 81) * 5 = 107 * 5 = 535.

Ответ: сумма всех двузначных чисел, которые при дроблении на 9 дают в остатке 4 равна 535.