Решите неравенство х^2-6х-16/-х^2+8х-120

Решим неравенство (х^2 - 6х - 16)/(- х^2 + 8х - 12) 0 способом промежутков. Приравняем и числитель, и знаменатель к нулю. Помним, что знаменатель не обязан приравниваться нулю (на 0 делить нельзя), поэтому его точки будут отмечены порожними кружками на числовой прямой.

1) х^2 - 6х - 16 = 0 - найдем корешки по аксиоме Виета;

x1 = - 2; x2 = 8.

2) - х^2 + 8х - 12 = 0;

х^2 - 8х + 12 = 0;

по аксиоме Виета x1 = 2; x2 = 6.

Изобразим числовую прямую и отметим на ней наши точки -2, 8 - закрашенными кружками, 2 и 6 - не закрашенными. Отмечаем по-порядку слева вправо по порядку -2, 2, 6, 8. Эти числа поделят числовую прямую на 5 интервалов: 1) (- ; -2], 2) [- 2; 2), 3) (2; 6], 4) [6; 8), 5) (8; + ).

Проверим символ выражения в каждом промежутке. Проще подставлять и считать знак, если квадратные трехчлены в числителе и знаменателе разложить на множители ((x - 8)(x + 2))/((x - 2)(x - 6)).

Выражение будет позитивно на 1,3, 5 промежутке и отрицательно на 2 и 4. Знак неравенства 0, означает в ответ записываем промежутки, на которых выражение позитивно.

Ответ. (- ; -2] и (2; 6] и (8; + ).