Найдите знаменатель нескончаемо убывающей геометрической прогресси , если сумма всех членов

Покажем, что если последовательность bn является геометрической прогрессией со знаменателем q, то последовательность cn = (bn)^2 также является геометрической прогрессией со знаменателем q^2.
Найдем отношение n+1 члена последовательности cn к n-му члену данной последовательности:
сn+1/сn = ((bn+1)^2)/(bn)^2 = ((b1*q^n)^2)/(b1*q^(n-1)^2 = b1^2*q^2n/(b1^2*q^(2n-2)) = q^2n/q^(2n-2) = q^2.
Таким образом, последовательность cn является геометрической прогрессией со знаменателем q^2 и первым членом с1 = b1^2.
По условию задачки, сумма всех членов нескончаемо убывающей геометрической прогрессии bn равна 2. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = b1/(1 - q), можем записать:
b1/(1 - q) = 2.
Поскольку последовательность bn является неисчерпаемо убывающей, то ее знаменатель q меньше 1. Следовательно значение q^2 также меньше 1, а значит, последовательность сn также является бесконечно убывающей.
По условию задачки, сумма всех членов прогрессии сn одинакова 5, как следует, можем записать:
b1^2/(1 - q^2) = 5.
Решаем полученную систему уравнений.
Разделив 2-ое уравнение на 1-ое уравнение, получаем:
(b1^2/(1 - q^2) )/(b1/(1 - q)) = 5/2;
(b1^2/(1 - q^2) )*((1 - q)/b1) = 5/2;
b1^2*(1 - q)/((1 - q^2)*b1) = 5/2;
b1^2*(1 - q)/((1 - q)*(1 + q)*b1) = 5/2;
b1*/(1 + q) = 5/2.
Подставляя в полученное соотношение значение b1 = 2*(1 - q), получаем:
2*(1 - q)/(1 + q) = 5/2.
Решаем полученное уравнение:
4*(1 - q) = 5*(1 + q);
4 - 4*q = 5 + 5*q;
5*q + 4*q = 4 - 5;
9*q = -1;
q = -1/9.

Ответ: знаменатель данной геометрической прогрессии равен -1/9.