У=-х^2-2x+5 , y=x+5 вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

http://bit.ly/2qEPTHb

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями функций у = -х^2 -2x + 5 и у = х + 5 построим поначалу графики этих функций. График функции у = х^2 -2х + 5 - парабола, построенная поточечно маршрутом подбора значений координаты х и вычислением значения функции у в каждой таковой точке. То есть:
1)х = -5, у = -(-5)^2 - 2 *(-5)+5 = -10, на графике откладываем точки х = -5, у = -10;
2)х = -4, у = (-4)^2 -2*(-4)+5 = -3, на графике откладываем точки х = -4 и у = -3;
3) х = -3, у = (-3)^2 - 2*(-3)+5 = 2, на графике откладываем точки х = -3 и у = 2;
4)х = -2, у = (-2)^2 -2*(-2)+5 = 5, на графике откладываем точки х = -2 и у = 5;
5)х = -1, у = 6, на графике откладываем точки х = -1 и у = 6;
6)х = 0, у = 5, на графике откладываем точки х = 0 и у = 5;
7)х = 4, у = -(4^2) - 2*4+5 = -19, на графике откладываем точки х = 4 и у = -19;
8) х = 3, у = -10, на графике откладываем точки х = 3 и у = -10;
9)х = 2, у = -3, на графике откладываем точки х = 2 и у = -3;
10)х = 1, у = 2, на графике откладываем точки х = 1 и у = 2.
График функции у = х + 5 - прямая, проходящая через точки:
1)х = 0, у = 0 + 5 = 5;
2)х = 1, у = 6;
3)х = -1, у = -1 + 5 = 4;
4)х = 2, у = 7;
5)х= -2, у = 3;
6)х = 3, у = 8;
7)х = -3, у = 2;
8)х = 4, у = 9;
9)x = -4, y = 1;
10)x = 5, y = 10;
11)x= -5, y = 0.
Заштрихованная на графике область является фигурой, площадь которой нужно вычислить (площадь криволинейной трапеции). Рассчитывается она по формуле определенного интеграла S = f(x) dx - g(x) dx (верхний предел b, нижний предел a) = F(a) - F(b). Найдём верхний и нижний пределы интеграла. Для этого воспользуемся построенным графиком. Определим, на каком интервале графики функций y = -х^2 -2x+5 и у = х+5 находятся выше оси Ох (так как значение площади не может быть числом отрицательным). Это просвет х е [-3;0], означает верхним пределом интеграла будет ноль (b = 0), нижним - минус три (а = -3). Сейчас нужно узнать, график какой из данных функций на этом интервале лежит выше иного. На графике видно, что парабола лежит выше прямой, означает в подинтегральном выражении (S = f(x) dx - g(x) dx) из функции y = -х^2 -2x+5 будем вычитать функцию у = х+5. Вычислим определенный интеграл функции с пределами и 0 и -3, значение которого и будет одинаково значению площади:
S = [(-х^2 -2x + 5) - (х+5)]dx (верхний предел 0, нижний -3) = [(-х^2 -2x + 5 - -х - 5)]dx = [(-х^2 -3x)]dx (верхний предел 0, нижний -3).
Интегрируем с поддержкою формул интегрирования:
1)х^ n dx = x^(n+1) / n+1, то есть -х^2 dx = -х^(2+1)/(2+1) = -х^3/3;
2)ах dx = a*х^1 dx = a*x^2/2, то есть 3х dx = 3*x^2/2 = 3x^2/2.
В итоге интегрирования получили выражение -х^3/3 - 3х^2/2, в которое по формуле Ньютона-Лейбница [F(a) - F(b)] нужно подставить значения наших пределов (b =0, a=-3). То есть поначалу заместо х в выражение -х^3/3 - 3х^2/2 необходимо подставить 0 (явно, что значение выражения будет равно 0). Потом в это же выражение вместо х нужно подставить -3 (получим -4,5). Сейчас из 0 вычитаем -4,5:
0 - (-4,5) = 4,5.
Таким образом, воспользовавшись формулой Ньютона - Лейбница, получили значение площади, равное 4,5 кв.ед.
Ответ: площадь фигуры, ограниченной чертами у = -х^2х -2х + 5 и у = х + 5, одинакова 4,5 кв.единиц.