Найдите наименьшее значение выражения: 11sin^2+9cos^2+8sin^4+2cos^4

Упростим данное выражение, используя тождество sin^2+cos^2 = 1:
11sin^2 + 9cos^2 + 8sin^4 + 2cos^4 = 2sin^2 + 9sin^2 + 9cos^2 + 8sin^4 + 2cos^4 = 9 + 2sin^2 + 8sin^4 + 2cos^4 = 9 + 2sin^2 + 8sin^4 + 2(1 - sin^2)^2 = 9 + 2sin^2 + 8sin^4 + 2(1 - 2sin^2 + sin^4) = 9 + 2sin^2 + 8sin^4 + 2 - 4sin^2 + 2sin^4 = 11 + 10sin^4 - 2sin^2.
Создадим подстановку sin^2 = t, тогда приобретенное выражение станет одинаковым 10t^2 - 2t + 11. Найдем производную функции f(t) = 10t^2 - 2t + 11:
f(t) = 20t - 2.
Производная обращается в ноль при t = 0.1.
При t lt; 0.1 производная f(t) меньше нуля, как следует, функция f(t) = 10t^2 - 2t + 11 убывает при t lt; 0.1.
При t gt; 0.1 производная f(t) больше нуля, как следует, функция f(t) = 10t^2 - 2t + 11 возрастает при t gt; 0.1.
Таким образом, при t = 0.1 функция f(t) = 10t^2 - 2t + 11 воспринимает меньшее значение. Как следует, преобразованное начальное выражение 11 + 10sin^4 - 2sin^2 воспринимает наименьшее значение при sin^2 = 0.1 и это наименьшее значение одинаково 11 + 10*(0.1)^2 -2*0.1 = 11 + 0.1 - 0.2 = 11 - 0.1 = 10.9.

Ответ: меньшее значение выражения: 11sin^2+9cos^2+8sin^4+2cos^4 равно 10.9.