В 1000-значном числе 113355779911335577991133557799, вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах;

При вычёркивании цифр на нечётных позициях число будет быстро сокращаться.
Потому функцию вычёркивания можно проделать явно.

Начальное 1000-значное число 1133557799 1133557799 1133557799. Тут 100 групп по 10 цифр.
При вычёркивании от каждой группы в 10 цифр остаётся группа в 5 цифр.

500-значное число 13579 13579 13579 13579 13579 13579. Тут 100 групп по 5 цифр либо 50 по 10.
250-значное число 37159 37159 37159 37159 ... 37159 37159. Здесь 50 групп по 5 цифр либо 25 по 10.
125-значное число 75319 75319 75319 75319 ... 75319 75319 75319. Здесь 25 групп по 5 цифр.
62-значное число 51739 51739 51739 51739 ... 51739 51739 51. Тут 12 групп по 5 цифр и 1 группа неполная,
заключительная группа состоит из 2 цифр. Всё число состоит из 62 цифр.
31-значное число 13579 13579 13579 13579 13579 13579 1. Тут 6 групп по 5 цифр и 1 дополнительная
заключительная цифра. Всё число состоит из 31 числа.
15-значное число 37159 37159 37159. Тут 3 группы по 5 цифр.
7-значное число 75319 75. Тут 1 группа из 5 цифр и 1 группа неполная, состоит из 2 цифр.
3-значное число 517.
Вычёркиваем далее, остаётся число 1.

Ответ: 1.