На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а

Давайте поделим выключатели на группы A и В. 1-ая группа состоит из выключателей, переключавшихся нечетное количество раз, а 2-ая четное. Возьмем лампочку Х меж выключателями из группы А. Выключатели смежные с данной лампочкой в сумме переключались четное число раз, поэтому лампочка будет выключенной. Сейчас осмотрим лампочку меж выключателями различных групп, данная лампочка будет гореть, потому что суммарное все смежные с ней выключатели были переключены нечетное количество раз. В итоге выходит, что пламенеть будут те лампочки, которые размещены между переключателями различных групп.

Допусти, что в группе А находится 10 - х выключателей, а в группе В 10 + х. Отсюда следует, что  существует (10 - х)(10 + х) лампочек, на концах которых размещены выключатели различных групп. Таким образом, довольно будет отыскать наивеличайшее возможное число выражения (10 - х)(10 + х). Получаем ответ, что одновременно гореть может не более 100 лампочек.