Из картона прямоугольной формы длиной 32 см и шириной 20 см

V=abc.
Пусть х - сторона квадрата, тогда:
а=20-2х,
b=32-2х,
с=х.
V=(20-2х)(32-2х)х.
Рассмотрим функцию у=(20-2х)(32-2х)х.
(20-2х)(32-2х)х=(640-64х-40х+4х^2)x=4x^3-104x^2+640x.
y=4x^3-104x^2+640x.
у=12x^2-208x+640.
у=0: 12x^2-208x+640=0.
3x^2-52x+160=0.
D=52^2-4*3*160=784=28^2,
x1=(52-28)/6=4,
x2=(52+28)/6=40/3=13 целых 1/3.
у(1)=12-208+640=444gt;0, значит:
при х принадлежит (0;4) функция вырастает;
при х принадлежит (4;13 целых 1/3) функция убывает;
при х принадлежит (13 целых 1/3;20) функция вырастает.
х=4 - точка максимума.
При х=4 функция добивается наибольшего значения. То есть, если сторона квадрата будет одинакова 4 см, объем коробки будет наивеличайшим.
Ответ: 4 см.