C помощью производной обоснуйте неравенство: tgx - x amp;gt; 0 при

Докажем, что на интервале (0;/2) функция f(x) = tgx - x является подрастающей. Для этого найдем производную этой функции и покажем, что на промежутке (0;/2) производная этой функции положительна.
Производная функции tgx одинакова 1/cos^2x, следовательно, f(x) = 1/cos^2x - 1.
На промежутке (0;/2) функция cosx удовлетворяет следующему двойному неравенству 0 lt; cosx lt; 1, как следует, на этом интервале функция cos^2x удовлетворяет такому же двойному неравенству 0 lt; cos^2x lt; 1, как следует на этом интервале функция 1/cos^2x удовлетворяет неравенству 1/cos^2x gt; 1. Отсюда следует, что производная f(x) = 1/cos^2x - 1 положительна на промежутке (0;/2), а означает, функция f(x) = tgx - x возрастает на данном промежутке.
При х = 0 значение tgx одинаково 0, как следует, при х = 0, f(x) = tgx - x = 0. Поскольку данная функция одинакова нулю на левом конце промежутка (0;/2) и возрастает на этом промежутке, она будет больше нуля в хоть какой точке снутри данного промежутка.
Таким образом, tgx - x gt; 0 при всех x (0;п/2).