Решить уравнение: 3ctg^2x=2tg^2x-5

3ctg^2x = 2tg^2x-5

Для того чтоб решить данное уравнение запишем формулу выражения ctg x через tg x: ctg x = 1 / tgx, подставим в наше выражение:

3 / tg^2 x = 2tg^2x - 5;

3 = 2tg^4x - 5tg^2 x, для удобства расчетов выполним подмену: tg^2 x = y,

3 = 2y^2 - 5y, 0 = 2y^2 - 5y - 3, перед нами квадратное уравнение, найдем его корешки за формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49;

x1 = (5 - 49) / 2 * 2 = (5 - 7) / 4 = - 2 / 4 = -1/2;

x2 = (5 + 49) / 2 * 2 = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3, создадим оборотную подмену:

tg^2 x = - 1/2 - не имеет решений (итог квадрата неведомой не может быть отрицательным),

tg^2 x = 3, (tg x)1 = 3, (tg x)2 = -3;

1) tg x = 3, х = П/3 + Пn, n Z;

2) tg x = - 3, х = 2П/3 + Пn, n Z.