На длинноватой полоске бумаги выписаны естественные числа 1, 2, 3, ,

Если мы сложим средние арифметические пяти долей и разделим на 5, то получим среднее арифметическое всех чисел от 1 до N. Получаем: (5,5 + 18 + 38 + 75,5 + 175,5) / 5 = 312,5 / 5 = 62,5.
Данное множество чисел мы можем разглядывать как арифметическую прогрессию с первым членом одинаковым 1 и разностью прогрессии одинаковой 1. Тогда сумма всех членов прогрессии будет одинакова:
(2 + (N - 1) * N) / 2 = (N + 1) * N / 2, а среднее арифметическое всех чисел будет равно: (N + 1) * N / 2 * N = (N + 1) / 2.
Таким образом,
(N + 1) / 2 = 62.5,
N + 1 = 125,
N = 124.
Ответ: N = 124.