Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x) для положительных значений переменных.

Найдите наименьшее значения творения (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x) для положительных значений переменных.

Решение:

Каждый множитель представим в качестве неравенства:

1-2(x/y)+x/y0

1-2(y/z)+y/z0

1-2(z/x)+z/x0

Дальше переместим отрицательные переменные вправо:

1+x/y2(x/y)

1+y/z2(y/z)

1+z/x2(z/x)

Сейчас необходимо перемножить имеющиеся неравенства:

(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)2(x/y)*2(y/z)*2(z/x)

(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)8((xyz)/(xyz))

Уменьшаем дробь в правой части и получаем окончательное неравенство:

(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)8

Таким образом меньшее значение творенья 8.

Ответ:8