В группе 22 человека. сколькими методами можно избрать три команды из

Вариант 1.
Выберем первую команду. Для этого найдем число сочетаний из 22 частей по 3. Воспользуемся формулой
С = n! / ((n-k)! * k!), где n = 22, k = 3:
С = 22! / ((22-3)! * 3!) = 22! / (19! * 3!) = 20 * 21 * 22 / (2 * 3) = 20 * 7 * 11 = 1540;
Сейчас из оставшихся 19 студентов выберем вторую команду, пользуясь той же формулой:
С = 19! / ((19-3)! * 3!) = 19! / (16! * 3!) = 17 * 18 * 19 /(2 * 3) = 17 * 19 * 3 = 969;
И из заключительных 16 третью команду:
С = 16! / ((16-3)! * 3!) = 16! / (13! * 3!) = 14 * 15 * 16 /(2 * 3) = 14 * 8 * 5 = 560;
Общее число способов это творение всех 3-х величин:
1540 * 969 * 560 = 835 665 600.
Сейчас учтем, что любая команда может оказаться на одной олимпиаде из трех. Домножим полученную величину на число перестановок местами трех команд:
А = 3! = 1 * 2 * 3 = 6;
835 665 600 * 6 = 5 013 993 600
Ответ: 5 013 993 600 методов.
Вариант 2.
Выберем из 22 студентов общую команду в девять человек. Для этого найдем число сочетаний из 22 элементов по 9. Воспользуемся формулой С = n! / ((n-k)! * k!), где n = 22, k = 3:
С = 22! / ((22-9)! * 9!) = 22! / (13! * 9!) = 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * 21 * 22 / (2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9) = 497 420;
Из приобретенной девятки сформируем три команды по три студента.
Первая тройка: обретаем число сочетаний из 9 по 3:
С = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 7 * 8 * 9 / (2 * 3) = 4 * 7 * 3 = 84;
Из оставшихся 6 студентов сформируем вторую команду:
С = 6! / ((6-3)! * 3!) = 6! / (3! * 3!) = 4 * 5 * 6 / (2 * 3) = 4 * 5 = 20;
3-я команда это оставшиеся студенты, она выходит единственным методом. Перемножая приобретенные величины, получаем итог:
497420 * 84 * 20 = 835 665 600.
Мы набрали три команды, сейчас отправим их на различные олимпиады, то есть учтем число перестановок трех команд.
А = 3! = 1 * 2 * 3 = 6;
835 665 600*6=5 013 993 600
Ответ: 5 013 993 600 способов.