В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Знаменито, что DE

До этого чем начать решать задачку нарисуем чертеж http://bit.ly/2yKhoRT.

И запишем дано:

Треугольник АВС;

АD, BE биссектрисы;

Знаменито, что DE  биссектриса угла ADC.

Найти: угол A ?.

Решать задачку будем используя метод:

• используя свойства биссектрис запишем отношение сторон;
• применим аксиому синусов;
• преобразуем приобретенное выражение, используя главное тригонометрическое тождество;
• найдем значение угла А.

Запишем отношение сторон

Вспомним свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Биссектриса делит обратную сторону на доли, пропорциональные прилегающим граням.

Запишем для каждой биссектрисы дела:

AD: BD/AB = DC/AC;

BE: AE/AB = EC/BC;

DC: AE/AD = EC/DC.

Используя главное свойство пропорции перейдем к равенствам:

1) AE * BC = EC * AB;

2) AB * DC = BD * AC;

3) AE * DC = EC * AD.

Применим теорему синусов

Аксиома синусов звучит так:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

По аксиоме синусов для треугольника ABC, запишем равенство:

BC/sin2 = AC/sin2;

выразим из выражения:

sin2 = (BC * sin2)/AC;

Для треугольника ABD применим аксиому синусов:

AD/sin2 = BD/sin;

sin2 = (AD * sin)/BD;

Подставим в равенство полученное ранее для sin2 приобретенное выражение вместо sin2:

sin2 = (BC * AD * sin)/AC * BD;

Преобразуем полученное выражение

Применим основное тригонометрическое тождество:

2sin * cos = (BC * AD * sin)/AC * BD;

cos = (BC * AD)/2(AC * BD);

Вместо (1) выражения выразим BC = (EC * AB)/AE;

Подставляем:

cos = (EC * AB * AD)/2(AC * BD * AE);

Из (2) выражения AB * DC = BD * AC;

cos = (EC * AB * AD)/2(AB * DC * AE) = (EC * AD)/2(DC * AE);

Из (3) выражения AE * DC = EC * AD;

cos = (EC * AD)/2(DC * AE) = (EC * AD)/2(EC * AD) = 1/2.

Найдем значение угла А

cos = 1/2;

= п/3;

А исходя из рисунка угол А = 2.

угол А = 2п/3;

угол А = 120 градусов.

Ответ: 120 градусов.

Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, так как она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при верхушке A треугольника ABD, а так как AD биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD разделяют развёрнутый угол с верхушкой A на три одинаковых угла. Следовательно, каждый из их равен 60, а