Разложить на множители и решить по аксиоме виета: 1)х+4х-21х 2)х-9х-22х

Аксиома Виета

Аксиому Виета используют к уравнениям вида ax^2 + bx + c = 0.

Главные пункты аксиомы Виета последующие:

• решаемое является приведенным (а = 1);
• сумма корней х1 + х2 одинакова второму коэффициенту b, взятому с обратным знаком х1 + х2 = -b;
• творение корней х1 * х2 одинаково свободному члену c: х1 * х2 = c.

Квадратное уравнение можно представить в виде творенья разностей переменной х и корней этого уравнения:

x^2 + bx + c = (х - х1) * (х - х2) = 0.

Решение первого уравнения

х^3 + 4х^2 - 21х.

Вынесем общий множитель за скобки х * (х^2 + 4х - 21).

Приравняем 2-ой множитель нулю и решим приведенное квадратное уравнение, используя аксиому Виета:

х^2 + 4х - 21 = 0;

сумма корней уравнения х1 + х2 = -4;

произведение корней х1 * х2 = -21;

корни х1 = -3 и х2 = 7.

Представим решенное квадратное уравнение в виде творенья:

(х + 3) * (х - 7) = 0.

Запишем данный многочлен в виде произведения:

х^3 + 4х^2 - 21х  = х * (х + 3) * (х - 7).

Решение второго уравнения

х^3 - 9х^2 - 22х.

Аналогично первому:

х * (х^2 - 9х - 22);

х^2 - 9х - 22 = 0;

х1 + х2 = 9;

х1 * х2 = -22c;

х1 = -11;

х2 = 2;

(х + 11) * (х - 2) = 0;

Итак, х^3 - 9х^2 - 22х = х * (х + 11) * (х - 2).

Ответ

1) х^3 + 4х^2 - 21х  = х * (х + 3) * (х - 7);

2) х^3 - 9х^2 - 22х = х * (х + 11) * (х - 2).

Теорема Виета для решения (x1 ; x2) квадратного уравнения типа ax^2 + bx + c = 0, имеет вид: x1 * x2 = c/a, x1 + x2 = - b/a, применим аксиому к нашим уравнениям:

1) х^3 + 4х^2 - 21х = 0, x(x^2 + 4x - 21) = 0

x1 * x2 = - 21/1 = -21;

x1 + x2 = - 4/1 = - 4, выбираем вместо (x1 ; x2) такие числа, чтобы они удовлетворяли оба наших равенства, лицезреем что x1 = 3, а x2 = - 7, разложим на множители и решим уравнение:

x(x - 3) (x + 7) = 0, x1 = 0; x - 3 = 0, x2 = 3; x + 7 = 0, x3 = - 7;

2) х^3 - 9х^2 - 22х = 0, x(х^2 - 9х - 22) = 0;

x1 * x2 = - 22;

x1 + x2 = 9, x1 = 11, а x2 = - 2;

x(x - 11) (x + 2) = 0, x1 = 0; x - 11 = 0, x2 = 11; x + 2 = 0, x3 = - 2;