Есть ли такие естественные числа m, n, k, что все три

Запишем условие.

Нам заданы три естественных числа  m, n, и k.

Необходимо ответить на вопрос: являются ли числа, данные выражениями:

• m^2 + n + k;
• n^2 + k + m;
• k^2 + m + n,

квадратами натуральных чисел?

Решать задачу будем используя алгоритм:

• допустим, что утверждение правильно;
• запишем утверждения, которые обязаны производиться;
• приходим к противоречию.

Допустим, что утверждение верно

Представим что есть такие m, n и k, для которых производятся условия заданные в задачке, что m^2 + n + k; n^2 + k + m; k^2 + m + n являются квадратами естественных чисел.

Вспомним определение естественного числа.

Естественные числа - это числа, которые употребляются для счета: 1, 2, 3, , n,

Огромное количество натуральных чисел принято означать эмблемой N.

Запишем утверждения, которые должны производиться

Если выражение m^2 + n + k является квадратом естественного числа, то обязано выполнятся неравенство:

m^2 + n + k gt; (m + 1)^2 (квадрат естественного числа обязан быть больше квадрата последующего за ним естественного числа).

Упростим неравенство:

m^2 + n + k gt; m^2 + 2m + 1;

n + k gt; m^2 - m^2 + 2m + 1;

n + k gt; 2m + 1.

Аналогичное неравенство получаем и для двух иных выражений:

n^2 + k + m gt; (n + 1)^2;

n^2 + k + m gt; n^2 + 2n + 1;

k + m gt; n^2 - n^2 + 2n + 1;

k + m gt; 2n + 1.

И последнее неравенство:

k^2 + n + m gt; (k + 1)^2;

k^2 + n + m gt; k^2 + 2k + 1;

n + m gt; k^2 - k^2 + 2k + 1;

n + m gt; 2k + 1.

Приходим к противоречию

Теперь сложим все три приобретенные неравенства:

n + k gt; 2m + 1;

k + m gt; 2n + 1;

n + m gt; 2k + 1.

2n + 2k + 2m gt; 2n + 2k + 2m + 3;

2(n + k + m) gt; 2(n + k + m) + 3.

В итоге мы получили не верное неравенство.

Вывод: натуральных чисел, которые бы удовлетворяли данным условиям не существует.