Упростите выражение (sina+cosa)^2 + (sina-cosa)^2

Используя формулы квадрата суммы (a + b) = a + 2 * a * b + b и квадрата разности (a - b) = a - 2 * a * b + b, получаем:

(sin + cos) + (sin - cos) = sin + 2 * sin * cos + cos + sin - 2 * sin * cos + cos = sin + cos + sin + cos + 2 * sin * cos - 2 * sin * cos = 2sin + 2cos = 2 * ( sin + cos).

Используя тождество sin + cos = 1, получаем:

2 * ( sin + cos) = 2 * 1 = 2.

Ответ: (sin + cos) + (sin - cos) = 2.

Нам нужно упростить выражение (sin a + cos a)^2 + (sin a - cos a)^2. В этом нам посодействуют тождественные преображенья и главные тригонометрические тождества.

Действовать будем последующим образом

• первым делом мы должны открыть скобки, для этого вспомнил ряд формул сокращенного умножения и правил открытия скобок, перед которыми стоят определенные знаки;
• сейчас нам нужно сгруппировать и привести сходственные слагаемые;
• после открытия скобок и приведения сходственных применим формулу синус двойного аргумента к приобретенному выражению;
• запишем ответ.

Упрощаем выражение (sin a + cos a)^2 + (sin a - cos a)^2

По плану деяний мы обязаны открыть скобки. В этом нам посодействуют формулы сокращенного умножения:

1) квадрат суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

2) квадрат разности (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

В нашем выражении a = sin a; b = cos a.

Так же применим формулу открытия скобок перед которыми стоит символ плюс либо нет никакого знака (в этом случае мы просто убираем скобки) и перед которыми стоит символ минус (убираем скобки и символ перед ними, а в скобках знаки слагаемых меняем на обратные).

(sin a + cos a)^2 + (sin a - cos a)^2 = sin^2 a + 2 * sin a * cos a + cos^2 a - (sin^2 a - 2 sin a * cos a + cos^2 a) = sin^2 a + 2 sin a cos a + cos^2 a - sin^2 a + 2 sin a cos a - cos^2 a;

Приводим сходственные слагаемые.

2 sin a cos a + 2 sina a cos a = 4 sin a cos a.

Вспомним формулу синус двойного аргумента:

sin 2a = 2 sin a cos a;

Применим ее к нашему выражению:

4 sin a cos a = 2(2 sin a cos a) = 2 sin 2a.

Ответ: 2 sin 2a.