Число 72 представьте в виде суммы трёх положительных чисел так чтоб

Пусть 1-ые два числа одинаковы х, тогда третье число (72 2 * х).

Сумма квадратов чисел:

F(x) = х^2 + x^2 + (72 2 * x)^2 = 2 * x^2 + 72 * 72 288 * x + 4 * x^2 = 6 * x^2 288 * x + 5184.

Найдем производную полученной функции F(x).

Fmin = F(x) = (6 * x^2 288 * x + 5184) = 2 * 6 * x 288 = 12 * x - 288.

Так как F(x) = 0, тогда 12 * x 288 = 0.

Как следует, х = 24.

Третье число: 72 2 * 24 = 24.

Таким образом, разыскиваемая сумма 24 + 24 + 24 = 72.

Сведем решение данной задачи к исследованию некой функции на экстремум.

Сочиняем функцию, которую будем изучить на экстремум

Обозначим через х то число из данных трёх положительных чисел, для которого посреди двух оставшихся чисел есть одинаковое ему число.

Тогда это 2-ое равное первому число также будет одинаково х.

Выразим через х третье число.

Обозначим его через у.

Сообразно условию задачки, сумма трёх данных чисел равна 72, как следует, можем записать последующее соотношение: 

х + х + у = 72.

Из полученного соотношения находим у:

2х + у = 72;

у = 72 - х.

Запишем выражение, равное сумме квадратов этих трёх чисел:

х + х + (72 - х) = 2х + 5184 - 144х + х =  3х - 144х + 5184.

Как следует,  сумма квадратов этих трёх чисел воспринимает наименьшее значение при таком значении х, при котором функция f(x) = 3х - 144х + 5184 воспринимает меньшее значение.

Исследуем данную функцию на экстремум

Для того, чтобы отыскать наименьшее значение данной функции, нужно:

• отыскать производную данной функции;
• отыскать критичные точки, то есть точки, в которых это производная обращается в ноль;
• определить символ производной слева и справа от критичных точек. Если слева от критичной точки производная отрицательна, а справа положительная, то в данной точке функция добивается локального минимума.

Обретаем производную функции f(x) = 3х - 144х + 5184:

f(x) = (3х - 144х + 5184) = 6x - 144.

Обретаем критичные точки:

6x - 144 = 0;

6х = 144;

х = 144 / 6;

х = 24.

Как следует, у данной функции есть одна критичная точка х = 24.

Так как при x lt; 24 производная данной функции меньше 0, а при x gt; 24 производная данной функции больше 0, то слева от этой точки данная функция убывает,  а справа  подрастает.

Следовательно, в данной точке функция f(x) = 3х - 144х + 5184 добивается безусловного минимума.

Следовательно, сумма квадратов 3-х положительных чисел, удовлетворяющих условию задачки, меньшей будет, когда два числа равны 24, а третье число одинаково 72 - 2 * 24 = 72 - 48 = 24.

Таким образом все три числа должны быть одинаковы меж собой.

Ответ: 72 = 24 + 24 + 24.