В классе каждый ученик или болтун, или молчун, причем каждый

Докажем утверждение индукцией по числу n учеников в классе.
Для n = 3 утверждение очевидно.
Представим, что оно правильно при n N. Пусть n = N + 1.
Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не наименее 2-ух.
Выделим молчуна A и его приятелей болтунов B1, ,Bk.
Для оставшихся n 1 k/2 учеников утверждение правильно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун приятельствует с нечётным числом молчунов и в M заходит не наименее воспитанников.
Предположим, что болтуны B1, ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, ,Bk с чётным числом.
Тогда, если,m больше k+1/2 то добавим к группе M болтунов B1, ,Bm,
а если,m меньше k+1/2 то добавим к группе M болтунов Bm + 1, ,Bk и молчуна A.
В обоих случаях мы получим группу воспитанников, удовлетворяющую условию задачки.