Сколько всего разных замкнутых ломаных можно построить с верхушками в точках

Для решения этой задачи поначалу надобно определить сколько незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках abcd.

Количество незамкнутых ломаных линий

Количество незамкнутых ломаных линий можно найти как число перестановок из 4 частей a, b, c, d.

P = 4! = 1 2 3 4 = 24;

Это соотношение обрисовывает все вероятные пути из точек a, b, c и d.
При этом вышло, что все ломаные мы посчитали два раза. К примеру, ломаные аbcd и dcba это одна и та же ломаная, проведенная в различных направлениях.

Как следует, число незамкнутых ломаных будет в два раза меньше - 12.

Количество замкнутых ломаных линий

Когда мы замкнем эти линии, то получится, к примеру, что abcd, bcda, cdab, dabc - это одна и та же замкнутая ломаная, то есть количество ломаных при этом сократилось ещё в четыре раза. Значит всего будет 12/4 = 3 замкнутых ломаных полосы с верхушками в точках abcd.
Это будут:

• Ломаная abcd и три циклические перестановки вершин.
• Ломаная acbd и три циклические перестановки вершин.
• Ломаная adbc и три циклические перестановки вершин.

Можно проверить, что иных замкнутых ломаных линий выстроить не получится.

Ответ: 3.