Производная функции tgx(cosx+2)

Найдем производную по правилу производной произведения

Функция y(x) = tg(x) * (cos(x) + 2) представляет собой произведение 2-ух функций.

Правило для нахождения производной творения функций следующее:

(U(x) * V(x)) = U(x) * V(x) + U(x) * V(x). Как следует, нужно:

• Выделить функции множители U(x) и V(x);
• По отдельность отыскать производные этих функций U(x) и V(x);
• Записать окончательный итог в согласовании с представленным правилом.

Пусть U(x) = tg(x), V(x) = cos(x) + 2.

Для функции U(x): производная от тангенса это табличная производная U(x) = 1 / cos^2(x), желая может быть вычислена и по правилу производной от приватного 2-ух функций.

Для функции V(x): вспоминаем, что производная суммы равна сумме производных и обретаем производную каждого слагаемого. Производная от cos(x) = -sin(x), производная от константы равна нулю. В итоге V(x) = -sin(x)

Запишем выражение U(x) * V(x) + U(x) * V(x):

(1 / cos^2(x)) * (cos(x) + 2) sin(x) * tg(x).

Раскроем скобки и представим tg(x) как sin(x) / cos(x):

1 / cos(x) + 2 / cos^2(x) sin^2(x) / cos(x).

Заметим, что две дроби имеют однообразный знаменатель, запишем их в виде одной дроби:

(1 sin^2(x)) / cos(x) + 2 / cos^2(x).

Из тригонометрии известно, что 1 sin^2(x) = cos(x).

В итоге получаем:

cos(x) + 2 / cos^2(x).

Решение с преобразованием начального выражения

Более обычным оказывает решение, где поначалу проводятся преображенья выражения.

Для начала раскроем скобки:

tg(x) * (cos(x) + 2) = tg(x) * cos(x) + 2 * tg(x).

Представим tg(x) как отношение sin(x) / cos(x):

sin(x) * cos(x) / cos(x) + 2 * tg(x).

Уменьшаем дробь и получаем:

sin(x) + 2 * tg(x).

Сейчас найдем производную. Производная от суммы одинакова сумме производных. Производные от обеих функции являются табличными: sin(x) = cos(x); tg(x) = 1/cos^2(x). Итог совпадает с решением первым методом.

Ответ [tg(x) * (cos(x) + 2)] = cos(x) + 2 / cos^2(x).

Найдем производную функции y = tg x * (cos x + 2).

Для того, чтоб отыскать производную функции y = tg x * (cos x + 2) используем формулы производной:

1) tg x = 1/cos ^ 2 x;

2) cos x = - sin x;

3) C = 0;

4) (x + y) = x + y ;

5) (x * y) = x * y + x * y;

Тогда получаем:

y = (tg x * (cos x + 2)) = tg x * (cos x + 2) + (cos x + 2) * tg x = 1/cos ^ 2 x * (cos x + 2) + (- sin x + 0) * tg x = (cos x + 2)/cos ^ 2 x - sin x * tgx = (cos x + 2)/cos ^ 2 x - sin x * sin x/cos x = (cos x + 2 - sin ^ 2 x * cos x)/cos ^ 2 x.