Обоснуйте тождество sin4a+2cos3a-sin2a/cos4a-2 sin 3L-cos2L=-ctg3L

Для решения данного задания необходимы некие формулы преображенья тригонометрических функций.

Формулы преображенья суммы и разности тригонометрических функций

• sin + sin = 2sin( + )/2 * cos( - )/2;
• sin - sin = 2sin( - )/2 * cos( + )/2;
• cos + cos = 2cos( + )/2 * cos( - )/2;
• cos - cos = - 2sin( + )/2 * sin( - )/2.

Так же необходимо знать, что cos/sin = ctg.

Преобразуем выражение

(sin4 + 2cos3 - sin2)/(cos4 - 2sin3 - cos2) = - ctg3

1) Поменяем местами некоторые слагаемые для удобства расчетов.

(sin4 - sin2 + 2cos3)/(cos4 - cos2 - 2sin3) = - ctg3

2) Преобразуем разность sin4 - sin2 в произведение по формуле sin - sin = 2sin( - )/2 * cos( + )/2.

Выходит sin4 - sin2 = 2sin(4 - 2)/2 * cos(4 + 2)/2 = 2sin(2)/2 * cos(6)/2 = 2sin * cos3.

3) Преобразуем выражение cos4 - cos2 по формуле cos - cos = - 2sin( + )/2 * sin( - )/2.

cos4 - cos2 = - 2sin(4 + 2)/2 * sin(4 - 2)/2 = - 2sin(6)/2 * sin(2)/2 = - 2sin3 * sin.

4) Наше выражение получило вид

(2sin * cos3 + 2cos3)/(- 2sin3 * sin - 2sin3) = - ctg3

5) Вынесем за скобку общие множители: в числителе это (2cos3), а в знаменателе (- 2sin3).

2cos3(sin + 1)/(- 2sin3)(sin + 1) = - ctg3

6) Число 2 и скобка (sin + 1) сократится, а минус можно перенести перед всей дробью, остается выражение

- cos3/sin3 = - ctg3

7) А так как cos/sin = ctg, то cos3/sin3 = ctg3.

Отсюда следует, что - cos3/sin3 = - ctg3 (верное равенство).

Для того чтоб доказать данное тождество вспомним формулы суммы тригонометрических функций и представления из как творения, а конкретно нам пригодится sin a - sin b = 2sin (a - b) / 2 * cos (a + b) / 2 и cos a - cos b = 2sin (a + b) / 2 * sin (b - a) / 2. В нашем тождестве расмотрим левую часть и докажем ее равенство правой:

(sin4a + 2cos3a - sin2a) / (cos4a - 2 sin 3а - cos2а) = (2sin a * cos 3a + 2cos3a) / ( (- 2)sin 3a * sin a - 2 sin 3а) = (2cos3a) (sin a + 1) / (- 2 sin 3а) ( sin a + 1) = 2cos3a / - 2 sin 3а = - ctg3a;

- ctg3a = - ctg3a;

Доказано.