Каждый из 10 гномов или всегда разговаривает правду, или всегда лжет.

Осмотрим вопросы и как на их могли ответить гномы.
Первый вопрос. Кто любит сливочное мороженое? Все согласились.
Гномы которые всегда разговаривают правду, и обожают сливочное мороженое должны были согласиться. Гномы которые всегда разговаривают правду, но любят иной тип мороженого должны были воздержаться, но таких не оказалось.

Вывод 1. Означает, если есть гномы которые всегда разговаривают правду, то они обожают только сливочное мороженое.

Гномы которые всегда разговаривают неправду, если они обожают сливочное мороженое, обязаны были воздержаться от голосования, но таких не оказалось. Те гномы, которые любят фруктовое либо шоколадное мороженое обязаны были поднять руку, они так и сделали.

Вывод 2. Среди гномов говорящих неправду, если такие есть, нет ни 1-го кто любил бы сливочное мороженое.

2-ой вопрос. Кто любит шоколадное мороженое? 5 гномов подняли руки.
Гномы разговаривающие правду должны воздержаться, ведь теснее известно что они любят сливочное мороженое.
Гномы которые разговаривают неправду должны были сказать что они обожают шоколадное мороженое, если они обожают фруктовое, и должны были воздержаться, если они обожают шоколадное.

Вывод 3. Те гномы которые подняли руки (5) точно говорят неправду и они точно обожают фруктовое мороженое, раз теснее известно что они не любят сливочное.

Третий вопрос. Кто любит фруктовое мороженое? Руку поднял один.
Гномы разговаривающие правду должны были воздержаться.
Гномы разговаривающие неправду, если они обожают фруктовое мороженое, а мы вычислили что их 5-ро, обязаны воздержаться. Гномы которые говорят неправду и обожают шоколадное должны поднять руку.

Вывод 4. Один гном, который поднял руку разговаривает неправду и он любит шоколадное мороженое.

Итак, мы вычислили, что 5 гномов разговаривающих неправду любит фруктовое мороженое и 1 говорящий неправду любит шоколадное, значит осталось 4 честных гнома и все они обожают сливочное мороженое.

Ответ: 4 честных гнома.