Найдите область определений: y=((x-1)/(x+2))

D(y): система (x - 1)/(x + 2) gt;= 0; x + 2 неравно 0; х не одинаково -2 и система х - 1 gt;= 0; x + 2 gt; 0; либо система х - 1 lt;= 0; x + 2 lt; 0; система х gt;= 1; x gt; -2; или система х lt;= 1; x lt; -2; Ответ: (-бесконечности; -2); [1; +бесконечности). Объяснение: Подкоренное выражение не может быть отрицательным, то есть gt;= 0 и знаменатель не может быть равен 0.

Область определения функции - это все допустимые значения х, которые может принимать функция.

Обретаем область определения функции

• Если функция представляет собой обычный многочлен (например, у = х³ - 2х +9), то областью определения будут любые числа;
• если функция представляет собой дробь, то областью определения будут любые числа, кроме тех, когда знаменатель равен нулю (разделять на ноль нельзя);
• если функция представляет собой квадратный корень, то областью определения будут любые числа, не считая тех, когда выражение под корнем меньше нуля.

Осмотрим функцию

y = ((x - 1)/(x + 2))

В этой функции есть и дробь, и квадратный корень. То есть выражение под корнем должно быть больше либо одинаково нулю, а значение под дробной чертой не обязано быть равно нулю.

То есть (x - 1)/(x + 2) gt;= 0

Дробь тогда больше нуля, когда и числитель, и знаменатель имеют схожие знаки (либо оба положительные, либо оба отрицательные).

Выходит две системы неравенств.

1) х - 1 gt;= 0

x + 2 gt; 0 (тут неравенство требовательное, поэтому что в знаменателе не может быть ноль)

Решаем неравенство.

х gt;= 1

x gt; - 2

Отметить на числовой прямой точки -2 и 1, заштриховать прямую сообразно неравенствам, и тогда видно, что решением данного неравенства будет просвет [1; + бесконечность).

2) х - 1 lt;= 0

x + 2 lt; 0 (тут неравенство строгое, поэтому что в знаменателе не может быть ноль)

х lt;= 1

x lt; - 2

Отмечаем на числовой прямой точки -2 и 1, штрихуем прямую согласно неравенствам, и тогда видно, что решение данного неравенства - промежуток (бесконечность; - 2).

Ответ: Областью определения функции являются промежутки (бесконечность; - 2) и [1; + бесконечность).