При каких значениях m и n выполняется тождество 7/( (x-6)(x+1) )

Приведём правую часть уравнения к общему знаменателю:

7/( ( x - 6 ) * ( x + 1 ) ) = ( m * ( x + 1 ) )/( ( x - 6 ) * ( x + 1 ) ) + ( n * ( x - 6 ) )/( ( x - 6 ) * ( x + 1 ) );
7/( ( x - 6 ) * ( x + 1 ) ) = ( ( m + n ) * x + m - 6 * n )/( ( x - 6 ) * ( x + 1 ) ).

Чтоб начальное уравнение было тождеством, обязаны выполняться условия:
1 ) m + n = 0;
2 ) m - 6 * n = 7.

Вычтем 2 ) из 1 ) и получим:
7 * n = - 7;
n = - 1.

Подставим итог в 1 ).
m = 1.

Ответ: m = 1, n = - 1.