Найдите меньшее натуральное число, которое делиться на какие либо 10 поочередных(т.е

  Меньшее общее кратное

   Для всех десяти поочередных естественных чисел, наименьшим натуральным числом, делящимся на их, является их меньшее общее кратное (НОК).

   Следовательно, нужно отыскать такую последовательность из 10 натуральных чисел, для которых наименьшее общее кратное принимает наименьшее значение. Докажем, что меньшее значение для НОК получится конкретно для первых 10 естественных чисел, т.е. для чисел от 1 до 10.

  Значение НОК для первых десяти поочередных чисел

   Обозначим огромное количество n поочередных натуральных чисел:

      M(a, n), где а - 1-ое число в этой последовательности.

   Посреди первых десяти чисел существует только четыре обычных множителя: 2, 3, 5 и 7, причем

• множитель 2 встречается в третьей ступени в числе 8;
• множитель 3 встречается во 2-ой степени в числе 9;
• множитель 5 встречается только в первой ступени в числах 5 и 10;
• множитель 7 встречается только в первой степени в числе 7.

   Таким образом, для НОК этой последовательности получим:

      НОК (M(1, 10)) = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 = 2520.

  Значение НОК для любых 10 поочередных чисел

   Явно, неважно какая последовательность из 10-и чисел содержит:

• желая бы одно число, кратное 8 = 2^3;
• хотя бы одно число, кратное 9 = 3^2;
• желая бы одно число, кратное 5;
• желая бы одно число, кратное 7.

   Следовательно, можно утверждать, что для хоть какого естественного числа "a" правильно неравенство:

      НОК (M(a; 10)) НОК (M(1; 10)) = 2520. (1)

   Более того, можно доказать, что это неравенство строгое, т.е. для хоть какой другой последовательности чисел производится условие:

      НОК (M(a; 10)) gt; 2520, если a gt; 1.

   Но это просит дополнительных усилий, а для решения задачи достаточно и нестрогое неравенство (1).

   Ответ: 2520.

Так как нас интересует наименьшее естественное число, которое делится на 10 поочередных естественных чисел, то, очевидно, эти натуральные числа обязаны быть меньшими из вероятных.

Такими числами являются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Найдем их наименьшее общее кратное:

НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2 * 3 * 2 * 5 * 7 * 2 * 3 =

= 6 * 10 * 7 * 6 = 2520.

Ответ: 2520.