На числовой прямой отмечены точки с координатами 0, 1, 2, 3,

Решение.

Назовем все точки: А(0), В(1), С(2), D(3), E(5), F(8), G(2016).

Найдем длины всех возможных отрезков:

AB = 1 - 0 = 1

AC = 2 - 0 = 2

AD = 3 - 0 = 3

AE = 5 - 0 = 5

AF = 8 - 0 = 8

AG = 2016 - 0 = 2016

BC = 2 - 1 = 1

BD = 3 - 1 = 2

BE = 5 - 1 = 4

BF = 8 - 1 = 7

BG = 2016 - 1 = 2015

CD = 3 - 2 = 1

CE = 5 - 2 = 3

CF = 8 - 2 = 6

CG = 2016 - 2 = 2014

DE = 5 - 3 = 2

DF = 8 - 3 = 5

DG = 2016 - 3 = 2013

EF = 8 - 5 = 3

EG = 2016 - 5 = 2011

FG = 2016 - 8 = 2008

Составим огромное количество из получившихся чисел, взяв каждое по одному разу:

 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 2008; 2011; 2013; 2014; 2015; 2016

В нем 14 элементов.

Ответ: 14 частей.