Найдите множество значений функции y=6-1/2cos3x

  Область определения и огромное количество значений функции cosx

   Областью определения функции cosx является все огромное количество действительных чисел:

      x R.

   На этом множестве функция может принимать значения только в промежутке [-1; 1]:

      cosx [-1; 1], либо

      -1 cosx 1. (1)

  Огромное количество значений начальной функции

      y = 6 - 1/2 * cos(3x).

   Неравенство (1) верно также для довода 3x, т. к., по условию задачки, нет никаких ограничений на огромное количество возможных значений аргумента:

      -1 cosx(3x) 1. (2)

   Преобразуем двойное неравенство (2) и приведем к такому виду, чтоб в средней доли неравенства была начальная функция. Для этого:

   1. умножим все доли неравенства, изменив знак неравенства на обратный:

      1/2 -1/2 * cosx(3x) -1/2, или

      -1/2 -1/2 * cosx(3x) 1/2; (3)

   2. прибавим ко всем долям неравенства (3) число 6:

• 6 - 1/2 6 - 1/2 * cosx(3x) 6 + 1/2;
• 5,5 6 - 1/2 * cosx(3x) 6,5;
• 5,5 y 6,5. (4)

   Левая и правая части двойного неравенства (4) являются теми последними значениями, между которыми начальная функция может принимать значения. Следовательно, область допустимых значений функции:

      y [5,5; 6,5].

   Ответ: [5,5; 6,5].

 

y = 6 - 1/2 cos 3x;
Из определения косинуса следует:
-1 cos3x 1;
Умножим все три доли двойного неравенства на -1/2;
1/2 -1 / 2 cos 3x -1/2;
Перепишем так:
-1/2 -1 / 2 cos 3x 1/2;
Прибавим к трем долям двойного неравенства 6;
6 - 1/2 6 - 1/2 сos 3x 1/2 + 6;
11/2 6 - 1/2 cos 3x 13/2;
5,5 6 - 1/2 cos 3x 6,5;
Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то огромное количество ее значений заключено меж наименьшим и величайшим ее значением на всей области определения. В данном случае огромное количество значений функции y = 6 - 1/2 cos 3x есть множество [5,5; 6,5].