Отыскать точки экстремума и найти их нрав: y=x^3+3x^2+4

у = x^3 + 3x^2 + 4 найдем экстремумы с поддержкою производной;

y = (x^3 + 3x^2 + 4) = 3x^2 + 6x найдем нули производной функции;

3x^2 + 6x = 0 вынесем за скобку общий множитель 3х;

3x(x + 2) = 0 творение 2-ух множителей одинаково 0 тогда, когда один из множителей равен 0;

x1 = 0; x2 = - 2 точки, в которых производная равна 0, являются точками экстремума функции; определим какая из данных точек является точкой максимума, а какая точкой минимума.

Изобразим точки (- 2) и 0 на числовой прямой. Они поделят ее на три промежутка: 1) (- ; - 2), 2) (- 2; 0), 3) (0; + ). Производная функции на 1 и 2 интервалах воспринимает положительные значения, а на 2 промежутке отрицательные.

Если производная функции на интервале воспринимает положительные значения, то функция на этом промежутке возрастает, а если производная функции на интервале воспринимает отрицательные значения то функция убывает.

В точке с абсциссой х = - 2 функция меняет возрастание на убывание, значит это точка максимума. В точке х = 0 функция меняет убывание на возрастание, означает это точка минимума. См. рис. http://bit.ly/2x81u11

у (- 2) = (- 2)^3 + 3 * (- 2)^2 + 4 = - 8 + 12 + 4 = 8; точка (- 2; 8) точка максимума;

у (0) = 0^3 + 3 * 0^2 + 4 = 4; точка (0; 4) точка минимума.