Решите уравнение x^(-4/3)-x^(-2/3)-8=0

Данное уравнение x^(-4/3)  - x^(-2/3)  - 8 = 0 можно представить в виде (x^(-2/3))^2  - x^(-2/3)  - 8 = 0. Тогда можно ввести обозначение у = x^(-2/3) и уравнение сводится к приведенному квадратному уравнению у^2 - у - 8 = 0.

Решение квадратного уравнения

Для уравнения а z^2 + bz +c = 0:

• определяется дискриминант по формуле D = b ^2 - 4ас;
• 1-ый корень уравнения равен z1 = (b + D^(1/2))/2а;
• 2-ой корень уравнения - z2 = (b - D^(1/2))/2а.

Полученное ранее уравнение у^2 - у - 8 = 0 имеет D = (-1) ^2 - 4 * 1 * (-8) = 1 + 32 = 33.

Соответственно, корешки уравнение

у1 = ((-1) + 33^(1/2))/(2 * (-1))) = (1 - 33^(1/2))/2 и

у2 = ((-1) - 33^(1/2))/(2 * (-1))) = (1 + 33^(1/2))/2.

Вычисление значений х

Если у = x^(-2/3), то х = у^(-3/2).

Таким образом, после подстановки выходит два корня:

х1 = ((1 - 33^(1/2))/2)^(-3/2)  = (2/(1 - 33^(1/2)))^(3/2) и 

х2 = (2/(1 + 33^(1/2)))^(3/2).

Ответ: уравнение x^(-4/3)  - x^(-2/3)  - 8 = 0 имеет два корня х1 = (2/(1 - 33^(1/2)))^(3/2) и х2 = (2/(1 + 33^(1/2)))^(3/2).

В нашем уравнении x^( - 4/3) - x^( - 2/3) - 8 = 0, по свойству возведения безызвестного в ступень запишем: x^( - 4/3) = x^( ( - 2/3) )^2, произведем подмену x^( - 2/3) = m имеем квадратное уравнение:

m^2 - m - 8 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * ( - 8) = 1 + 32 = 33;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два реальных корня:

m1 = (1 - 33)/2 * 1 = (1 - 33)/2;

m2 = (1 + 33)/2 * 1 = (1 + 33)/2;

x^( - 2/3) = (1 - 33)/2, x^2/3 = 2/(1 - 33), x1 = (2/(1 - 33) )^3;

x^( - 2/3) = (1 + 33)/2, x^2/3 = 2/(1 + 33), x2 = (2/(1 + 33) )^3;