На прямой отметили несколько точек. После этого меж каждыми двумя примыкающими

Пусть сначало было отмечено x точек.

После первого преображения, меж каждыми примыкающими точками возникает по одной. Это означает, что появляется новых точек на одну меньше чем было первоначально. Общее количество точек:

x + (x - 1) = 2 * x - 1

Второе преобразование происходит по той же схеме, добавляется ((2 * x - 1) - 1) новых точек.

(2 * x - 1) + ((2 * x - 1) - 1) = 4 * x - 3

Третье преображение, подобно:

(4 * x - 3) + ((4 * x - 3) - 1) = 8 * x - 7.

8 * x - 7 = 113;

8 * x = 120;

x = 15.

Ответ: изначально было 15 точек.