0.5sin2xctgx-cosx=sin^2x

Решим уравнение 0.5 sin ^ 2 x ctg x cos x = sin ^ 2 x

Для решения уравнения, используем формулу сокращенного умножения:

• Ctg x = cos x/sin x;
• Sin ^ 2 x = 2 * sin x * cos x;
• Sin ^ 2 x = 1 cos ^ 2 x.

0.5 sin ^ 2 x ctg x cos x = sin ^ 2 x;

0.5 2 * sin x * cos x ctg x cos x = sin ^ 2 x;

1/2 2 * sin x * cos x ctg x cos x = sin ^ 2 x; 

Числитель и знаменатель в дроби 1 / 2*2 сокращаем на 2, тогда получим:

1/1 * 1 * sin x * cos x * ctg x cos x = sin ^ 2 x;

Sin x * cos x * ctg x cos x = sin ^ 2 x;

Sin x * cos x * cos x/sin x cos x = sin ^ 2 x;

Числитель и знаменатель в дроби Sin x * cos x * cos x/sin x уменьшаем на sin x, тогда получим:

1 * cos x * cos x/1 cos x = sin ^ 2 x; 

Cos ^ 2 x cos x = sin ^ 2 x;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки изменяются на обратный символ. То есть получаем:

Cos ^ 2 x cos x sin ^ 2 x = 0;

Cos ^ 2 x cos x (1 cos ^ 2 x) = 0;

Поначалу раскрываем скобки. Если перед скобками стоит символ минус, то при ее раскрытии, знаки значений изменяются на обратный символ. Если же перед скобками стоит символ плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

Cos ^ 2 x cos x 1 + cos ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 2 x cos x 1 = 0;

Пусть cos x = a, тогда получим:

2 * a ^ 2 a 1 = 0;

Найдем корешки уравнения 2 * a ^ 2 a 1 = 0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ²  -  4 * a * c = (- 1) ² -  4 2 (- 1) = 1 + 8 = 9;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a₁ = (1 - 9)/(2 2) = (1  3)/4 =  - 2/4 = - =  - 0.5;

a₂ = (1 + 9)/(2 2)  =  (1 + 3)/4 = 4/4 = 1;

Отсюда получили:

• Cos x = - ;

X = + - arccos (- ) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = + - arccos (- ) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z; 

X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

• Cos x = 1;

X = 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

В итоге получили, что уравнение 0.5 sin ^ 2 x ctg x cos x = sin ^ 2 x имеет корешки:

• X = + 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;
• X = - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;
• X = 2 * pi * n, где n принадлежит Z.

Разложим ctgx = cosx/sinx, а sin^2x перенесем в левую часть, получим равенство:

0,5 * sin2x * cosx/sinx - cosx - sin^2x = 0;

Разложим sin2x = 2 * sinx * cosx:

sinx * cosx * cosx/sinx - cosx - sin^2x = 0;

cos^2x - cosx - sin^2x = 0;

Разложим cos^2x - sin^2x = cos2x = 1 - 2 * sin^2x:

1 - 2 * sin^2x - sin^2x =0;

1 - sin^2x = 0;

sin^2x = 1;

sinx = 1;

x = п/2 + 2 * п * k, k принадлежит Z