Отыскать наименьшее натуральное число, начинающееся в десятичной записи с пятёрки, которое

Для решения данной задачки нам нужно:

• узнать, что значит на математическом языке стереть цифру 5, которой начинается десятичная запись некоторого числа;
• узнать, что означает на математическом языке дописать цифру 5 в конец десятичной записи некого числа;
• составить соотношение, которое позволит находить числа, удовлетворяющие условию задачки;
• используя составленное соотношение, отыскать меньшее число, удовлетворяющие условию задачки.

Решение задачи.

Определяем, что значит на математическом языке стереть цифру 5, которой начинается десятичная запись числа

Рассмотрим несколько примеров.

Если в двузначном числе 53 стереть первую цифру 5, то получится число 3, которое можно получить вычитанием числа 50 = 5 * 10¹ из начального числа 53.

Если в пятизначном числе 54563 стереть первую цифру 5, то получится число 4563, которое можно получить вычитанием числа 5000 = 5 * 10⁴ из начального числа 54563.

Следовательно, стереть цифру 5, которой начинается десятичная запись некого k-значного числа равносильно вычитанию из этого числа 5 * 10^k-1.

Определяем, что значит на математическом языке дописать цифру 5 в конец десятичной записи некого числа

Рассмотрим несколько образцов.

Если к числу 3 дописать цифру 5, то получится число 35, которое можно получить умножением начального числа 3 на 10 и добавлением к приобретенному результату числа 5.

Если к числу 4563 дописать цифру 5, то получится число 45635, которое можно получить умножением начального числа 4563 на 10 и добавлением к приобретенному результату числа 5.

Как следует, дописать цифру 5 в конец десятичной записи некоторого числа равносильно умножению этого числа на 10 и прибавлению к приобретенному результату числа 5.

Сочиняем соотношение, которое дозволит находить числа, удовлетворяющие условию задачи

Обозначим разыскиваемое k-значное число через х.

Согласно условию задачки, стереть из начала десятичной записи данного числа цифру 5 и дописать в её конец, то данное число уменьшится в 4 раза.

Если стереть из начала десятичной записи данного числа цифру 5, то получится число х - 5 * 10^k-1.

Если к приобретенному числу приписать справа цифру 5, то получится число 10 * (х - 5 * 10^k-1) + 5.

Как следует, можем составить последующее уравнение:

х = 4 * (10 * (х - 5 * 10^k-1) + 5).

Упрощая приобретенное соотношение, получаем:

х = 40 * (х - 5 * 10^k-1) + 20;

х = 40х - 200 * 10^k-1 + 20;

х = 40х - 20 * 10 * 10^k-1 + 20;

х = 40х - 20 * 10^k + 20;

40х - х = 20* 10^k - 20;

39х = 20 * 10^k - 20;

х = (20 * 10^k - 20) / 39;

х = 20 * (10^k - 1) / 39.

Перебирая значения k, начиная от 2, обретаем наименьшее целое число х, удовлетворяющее данному соотношению.

Так как число 20 не делится на 39, будем разыскивать наименьшее значение k, при котором число 10^k - 1 будет кратно 39.

При k = 2 получаем 10² - 1 = 100 - 1 = 99.

Данное значение  k не подходит, поскольку число 99 не делится на 39.

При k = 3 получаем 10³ - 1 = 1000 - 1 = 999.

Данное значение  k не подходит, поскольку число 999 не делится на 39.

При k = 4 получаем 10⁴ - 1 = 10000 - 1 = 9999.

Данное значение  k не подходит, так как число 9999 не делится на 39.

При k = 5 получаем 10⁵ - 1 = 100000 - 1 = 99999.

Данное значение  k не подходит, так как число 99999 не делится на 39.

При k = 6 получаем 10⁶ - 1 = 1000000 - 1 = 999999.

Данное значение k подходит, так как число 999999 делится на 39:

999999 / 39 = 25641.

Зная k, обретаем х:

х = 20 * (10⁶ - 1) / 39 = 20 * 25641 = 512820.

Ответ: разыскиваемое число 512280

Пусть n число цифр в разыскиваемом числе.

Тогда разыскиваемое число можно представить в виде суммы:

5 * 10^(n - 1) + a, где а - число, приобретенное их искомого числа методом стирания первой числа, n - число цифр в искомом числе.

Так как разыскиваемое число уменьшается в четыре раза после переноса пятерки с первой позиции слева на первую позицию справа, то:

5 * 10^(n - 1) + a = (10а + 5) * 4;

5 * 10^(n - 1) + a = 40а + 20;

39а = 5 * 10^(n - 1) - 20;

а = (5 * 10^(n - 1) - 20) / 39.

Так как это должно быть меньшее число, то мы будем полагать, что в числе 2, 3, 4, 5 и т.д. цифр и создавать вычисление, чтоб найти то наименьшее n, при котором остаток будет нулевым:

 (5 * 10^(2 - 1) - 20) / 39 = (50 - 20) / 39 = 0 ост (30);

 (5 * 10^(3 - 1) - 20) / 39 = (500 - 20) / 39 = 12 ост (12);

 (5 * 10^(4 - 1) - 20) / 39 = (5000 - 20) / 39 = 127 ост (27);

 (5 * 10^(5 - 1) - 20) / 39 = (50000 - 20) / 39 = 1281 ост (21);

 (5 * 10^(6 - 1) - 20) / 39 = (500000 - 20) / 39 = 12820.

Как следует, начальное число 512820.

Ответ: 512820.