Антон именовал Кате число, заканчивающееся на 3. Катя именовала сумму цифр

  Обозначения

   Допустим, Антон именовал число x, Катя назвала число y, а Дима - число z. Тогда, согласно условию задачки, числа x, y и z удовлетворяют следующим трем условиям:

• число x заканчивается на цифру 3, а сумма его цифр одинакова y;
• число y заканчивается на цифру 2, а сумма его цифр одинакова z;
• число z заканчивается на цифру 1.

  Наименьшее значение для числа y

   Если число y, которое назвала Катя, заканчивается на цифру 2, а сумма его цифр - на 1, то, явно, меньшее такое число будет в том случае, когда y - двузначное число, как следует, для y и z получим:

      y = 92;

      z = 9 + 2 = 11.

  Наименьшее значение для числа x

   Таким образом, необходимо отыскать меньшее число x, заканчивающееся на 3, сумма цифр которого одинакова 92. Если вычтем из 92 последнюю цифру числа x, т.е. - 3, то получим сумму всех цифр, за исключением заключительней цифры, числа х:

      92 - 3 = 89.

   Так как для n-значного числа наибольшая сумма цифр достигается в том случае, когда все числа - 9, и  равна 9n, то очевидно, что число x не может быть десятизначным. А это означает, что наименьшее значение для числа х необходимо отыскивать среди одиннадцатизначных чисел, у которых последняя цифра - 3.

   Светло, что такое число состоит из 9 девяток, одной восьмерки и  заключительней тройки, а посреди таких чисел минимальным будет то, у которого восьмерка стоит на первом месте:

• x = 89 999 999 993;
• y = 8 + 9 * 9 + 3 = 92;
• z = 9 + 2 = 11.

   Как следует, наименьшее число x, которое мог именовать Антон - это число:

      89 999 999 993.

   Ответ: 89 999 999 993.

http://bit.ly/2wPJwTY

Задачка решается методом подбора числ первого порядка, сумма которых удовлетворяет условию задачки. Что бы получить меньшее число необходимо использовать как можно наименьшее количество цифр, из чего следует что значение самих цифр должно быть наибольшее. Потому сначала выбирают наивеличайшую сумму из девяток, не превосходящую сумму неведомых цифр, а позже выбирают цифру, сумма с которой будет равна сумме неизвестных цифр.