Найдите естественное число N, для которого N+53 и N- 36 полные

  Составление уравнений для полных квадратов

   Сообразно условию задачи, выражения n + 53 и n - 36 являются квадратами натуральных чисел:

      n + 53 = a; (1)

      n - 36 = b, (2)

   где a и b - некие естественные числа.

  Вычисление значений переменных a и b

   Для нахождения переменных a и b, из уравнения (1) вычтем уравнение (2):

• (n + 53) - (n - 36) = a - b;
• n + 53 - n + 36 = a - b;
• a - b = 89;
• (a + b) * (a - b) = 89. (3)

   Левая часть уравнения (3) является творением двух естественных чисел, а правая часть - простое число. Так как хоть какое обычное число имеет только два делителя: единица и само число, то для множителей a + b и a - b верны равенства: 

      a + b = 89; (4)

      a - b = 1. (5)

   Сложив и вычтя уравнения (4) и (5), получим значения переменных a и b:

      (a + b) + (a - b) = 89 + 1;

      a + b + a - b = 90;

      2a = 90;

      a = 45.

      (a + b) - (a - b) = 89 - 1;

      a + b - a + b = 88;

      2b = 88;

      b = 44.

  Вычисление значения переменной n

   Подставив значение хоть какого из переменных a либо b в уравнение (1) или (2), получим искомое естественное число n:

      n = a - 53 = 45 - 53 = 2025 - 53 = 1972, либо

      n = b + 36 = 44 + 36 = 1936 + 36 = 1972.

   В обоих вычислениях получили один и тот же результат, как следует, число 1972 удовлетворяет условию задачи.

   Ответ: 1972.

Cоставим и решим уравнение:

х^2 - у^2 = N + 53 - N + 36;

х^2 - у^2 = 89 (обычное число);

(х - у) * (х + у) = 89;

х - у = 1;

х + у = 89;

Значит:

х = 45, а у = 44.

х^2 = 45^2 = 2025;

у^2 = 44^2 = 1936;

Означает:

N = 1936 + 36 = 1972, либо N = 2025 - 53 = 1972

Ответ: N = 1972.