Решите неравенство: 2^x+3*2^-xamp;lt;=4

Неравенство, где переменная находится в положении степени, величается показательным.

• Нужно поменять число в ступени иной переменной,
• Решить получившееся неравенство, определить промежутки, удовлетворяющие неравенству,
• Возвратиться к подмене переменной и решить новое (или несколько новых) неравенств.

Действия с числами в ступени

х^m+n = x^m * xⁿ

(x^m)ⁿ = (x^m)ⁿ

x^-n = 1/xⁿ

х⁰ = 1

Преобразуем неравенство

 2^x + 3 * 2^-x lt;= 4

2^x + 3 / 2^x lt;= 4

Произведем подмену 2^x = а.

Выходит неравенство вида а + 3/а lt;= 4.

Перенесем число 4 в левую часть неравенства.

а + 3/а - 4 lt;= 0

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю.

(а² + 3 - 4а)/а lt;= 0

(а² - 4а + 3)/а lt;= 0

Дробь меньше либо равна нулю, когда и числитель и знаменатель имеют схожие знаки.

Получается две системы неравенств

1. 1-ая система.

а² - 4а + 3 gt;= 0

а lt; 0 (тут требовательное неравенство, поэтому что это знаменатель, разделять на ноль нельзя)

Решаем перво неравенство.

у = а² - 4а + 3 Квадратичная функция, ветви ввысь.

Обретаем нули функции (у = 0).

а² - 4а + 3 = 0

D = 16 - 12 = 4 (кв.корень равен 2)

а₁ = (4 + 2)/2 = 3

а₂ = (4 - 2)/2 = 1

Решением этого неравенства будут промежутки (- бесконечность; 1] и [3; + бесконечность).

Соединяем с неравенством а lt; 0.

Решением системы будет просвет (- бесконечности; 0), то есть а lt; 0.

2. 2-ая система.

а² - 4а + 3 lt;= 0

а gt; 0

Корешки первого неравенства 3 и 1 (см. выше).

Решением этого неравенства будет просвет [1; 3].

Соединяем с неравенством а gt; 0, решением системы будет промежуток [1; 3].

То есть а gt;= 1 и а lt;= 3.

Возвращаемся к замене 2^x = а.

Решаем три неравенства, которые получились.

1) а lt; 0

2^x lt; 0 Такого не может быть.

2) а gt;= 1

2^x gt;= 1

2^х gt;= 2⁰

х gt;= 0

3) а lt;= 3

2^x lt;= 3

x lt;= log₂3

Ответ: х gt;= 0, x lt;= log₂3

2 ^ x + 3 * 2 ^ (- x ) lt; = 4; Умножим правую и левую часть выражения на 2 ^ x и получим: 2 ^ x * 2 ^ x + 3 * 2 ^ (- x ) * 2 ^ x lt; = 4 * 2 ^ x; (2 ^ x) ^ 2 + 3 * 1 lt; = 4 * 2 ^ x; (2 ^ x) ^ 2 - 4 * 2 ^ x + 3 lt; = 0; Пусть 2 ^ x = a, получим: a ^ 2 - 4 * a + 3 lt; = 0; Приравняем неравенство к 0 и найдем корни квадратного уравнения через дискриминант. a ^ 2 - 4 * a + 3 = 0; D = b ^ 2 - 4 * a * c = (- 4) ^ 2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4; a1 = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3; a2 = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1; Тогда: 1) 2 ^ x = 3; x = log2 3; 2) 2 ^ x = 2; x = 1; Отсюда, 1 lt; = x lt; = log2 3.