Сколько существует таких естественных чисел AA, что среди чисел AA, A+10A+10

  Решение

   Обозначим:

     aa = x;
     a+10a+10 = 11a+10 = y;
     a+20a+20 = 21a+20 = z;

  Составление неравенств

   Определим значения a, при которых эти числа четырехзначные:

   1) Условие четырехзначности для x:

     1000 lt;= х lt; 10000;
     1000 lt;= aa lt; 10000;
     10 lt;= a lt; 100;
     10 lt;= a lt;= 99 (для целых значений а).

   2) Условие четырехзначности для y:

     1000 lt;= y lt; 10000;
     1000 lt;= 11a+10 lt; 10000;
     990 lt;= 11a lt; 9990;
     90 lt;= a lt; 908,2;
     90 lt;= a lt;= 908 (для целых значений а).

   3) Условие четырехзначности для z:

     1000 lt;= z lt; 10000;
     1000 lt;= 21a+20 lt;= 10000;
     980 lt;= 21a lt; 9980;
     46,7 lt;= a lt; 475,2;
     47 lt;= a lt;= 475 (для целых значений а).

   Таким образом, объединив условия четырехзначности для каждого из этих чисел, имеем: 

• 10 lt;= a lt;= 99;
• 90 lt;= a lt;= 908;
• 47 lt;= a lt;= 475.

  Количество четырехзначных чисел

   Для того, чтоб найти количество четырехзначных чисел для каждого значения a, осмотрим множество целых чисел [10; 908]. Разделим это огромное количество на последующие подмножества:

     [10; 46]; [47; 89]; [90; 99]; [100; 475]; [476; 908].

   Явно, что:

   для подмножеств [10; 46] и [476; 908] имеем единственное четырехзначное число: x либо y;

   для подмножества [90; 99] все три числа четырехзначные: x, y и z;

   а для подмножеств [47; 89] и [100; 475] будем иметь ровно два четырехзначных числа: x и z либо y и z соответственно.

   Остается только посчитать количество этих чисел:

     (89-47+1) + (475-100+1) = 43 + 376 = 419;

   Ответ: 419 чисел.