Решите уравнение x^5+x^4-x^3-x^2-6x-6=0

Нам необходимо решить уравнение, в котором переменная находится в пятой степени x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x 6 = 0.

Составим метод решения уравнения

• сгруппируем попарно 1-ое со вторым, третье с четвертым и 5-ое с шестым слагаемые;
• в каждой паре вынесем общий множитель за скобки;
• представим выражение в левой части уравнения в виде творения;
• перейдем к решению 2-ух уравнений;
• решим каждое из приобретенных уравнений.

Представим левую часть уравнения в виде творенья

Итак, сгруппируем парами слагаемые в левой части уравнения, получим:

x^5 + x^4 x^3 x^2  - 6x 6 = 0;

(x^5 + x^4) (x^3 + x^2) (6x + 6) = 0;

Вынесем из первой скобки x^4, из второй x^2, из третьей 6.

x^4(x + 1) x^2(x + 1) 6(x + 1) = 0.

Представим в виде творение выражения в левой доли уравнения, вынеся за скобки (х + 1):

(х + 1)(x^4 x^2 6) = 0;

Перебегаем к решению 2-ух уравнений

В правой доли уравнения стоит ноль, а в левой творение двух скобок.

Чтоб найти все решения уравнения, переходим к решению 2-ух уравнений:

1) х + 1 = 0;

х = - 1.

2) x^4 x^2 6 = 0;

Решаем биквадратное уравнение. Введем подмену. Пусть x^2 = t, тогда:

t^2 t 6 = 0;

Разыскиваем дискриминант для данного уравнения:

D = b^2 4ac = (- 1)^2 4 * 1 * (- 6) = 1 + 24 = 25.

t1 = (- b + D)/2a = (1 + 5)/2 * 1 = 6/2 = 3;

t2 = (- b - D)/2a = (1 5)/2 * 1 = - 4/2 = - 2.

Возвращаемся к подмене:

1) x^2 = 3;

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

х1 = 3; х2 = - 3.

2) x^2 = - 2 уравнение не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом.

Ответ: х = - 1; х = 3; х = - 3.

Сгруппируем 1-ое неведомое со вторым, третье с четвертым и 5-ое с шестым, вынесем общие множители:

x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0;

x^4(x+1) - x^2(x + 1) - 6(x + 1) = 0, вынесем общий множитель х + 1 за скобки:

(х + 1) (x^4 - x^2 - 6) = 0;

1) х + 1 = 0, х = - 1;

2) x^4 - x^2 - 6 = 0 - биквадратное уравнение, сделаем подмену: x^2 = t:

t^2 - t - 6 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * ( - 6) = 1 + 24 = 25;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

t1 = (1 - 25) / 2 * 1 = (1 - 5) / 2 = - 4 / 2 = - 2;

t2 = (1 + 25) / 2 * 1 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3;

Обратная замена x^2 = - 2 - нет решений;

x^2 = 3, x = 3 ; - 3.

Ответ: -1, 3, - 3.