Найдите производную функции f(x)= корень из ctg*(5X^2-7)

Производную от трудной функции находим исходя из формулы (u(v) ) = u(v) v, то есть мы обретаем производные от внутренней функции и производную от наружней функции у нас в уравнении несколько внутренних функций, v1 = 5X^2 - 7, и v2 = ctg * (5X^2 - 7) поэтому:

f(x) = ctg * (5X^2 - 7) = (ctg * (5X^2 - 7) )^1/2, исходя из того что ctg x = - 1 / sin^2 x, имеем:

(ctg * (5X^2 - 7) )^1/2 = 1 / 2 * ctg * (5X^2 - 7) * (- 1 / sin^2 (5X^2 - 7) ) * 10x^2 = - 5x / (- 1 / sin^2 (5X^2 - 7) ) * ctg * (5X^2 - 7).

Производная трудной функции высчитывается равномерно. Если у = f(g(x)), то производная таковой функции равна y= f(g(x)) * g(x).

Нам дана трудная функция f(x)= корень из ctg(5x² - 7), в которой смешиваются несколько сложных функций - квадратный корень, тригонометрическая функция и квадратичная функция.

Производные сложной функции

• Производная тригонометрической функции (ctgU) = - 1/sin²U * U;
• производная квадратного корня (U)= 1/2U * (U);
• производная квадратичной функции (ax² + bx + c) = 2ax + b.

Так как производная квадратного корня одинакова (U)= 1/2U * (U), тогда:

f(x)= корень из ctg(5x² - 7)

f(x)= 1/(2 * корень из ctg(5x² - 7)) * (ctg(5x² - 7))

Найдем производную тригонометрической функции

(ctg(5x² - 7))= - 1/(sin²(5x² - 7)) * (5x² - 7)

Найдем производную квадратичной функции

(5x² - 7) = 10x

В итоге производная данной трудной функции одинакова

f(x)= 1/(2 * корень из ctg(5x² - 7)) * (- 1/(sin²(5x² - 7)) * 10х

Преобразуем запись выражения.

f(x)= - 5х/(корень из ctg(5x² - 7) * sin²(5x² - 7))