Решить найдите меньшее естественное число n владеющее последующим свойством все числа

Число 9n должно делиться на 9 без остатка.

Как известно, число делится на 9 если сумма его цифр делится на 9. Так как все цифры числа 9n единицы, то минимальным из чисел 9n будет число, состоящее из девяти единиц: 111 111 111.

Вычислим n:

n = 111 111 111 / 9 = 12 345 679.

Ответ: 12 345 679.

  Признак делимости для числа 9

   Как и в случае деления естественного числа на 3, для 9 также существует подобный признак делимости:

      естественное число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

   К примеру, число 783 делится на 9, и сумма его цифр также делится на 9:

• 783 : 9 = 87;
• 7 + 8 + 3 = 18;
• 18 : 9 = 2.

  Количество цифр числа 9n

   Творение 9n, явно, делится без остатков на число 9. А если, по условию задачки, в десятичной записи это число состоит из одних единиц, то для того, чтоб произведение 9n было кратно 9, необходимо, чтоб количество единиц M, входящих в число 9n, также было кратно 9:

      M = 9 * m, где m - хоть какое естественное число: m  N.

  Меньшее начальное число

   Но поскольку ищем меньшее естественное число n, удовлетворяющее этому условию, то нужно найти меньшее посреди тех чисел, которые в десятичной записи состоят из одних единиц. А это произойдет, явно, в том случае, если количество единиц числа 9n также воспримет наименьшее значение, т. е. при условии:

      m = 1, как следует

      M(min) = 9 * 1 = 9.

   Таким образом, творенье числа 9 и меньшего исходного числа n содержит ровно 9 единиц:

• 9n = 111 111 111, отсюда получим
• n = 111 111 111 : 9;
• n = 12 345 679.

   Ответ: 12 345 679.