Вычислить предел x-amp;gt;бесконечность lim (x^7+2x^5-4)/(3x^7+12)

В задаче нужно вычислить значение А для предела функции f (x):

А = lim _xf (x);

где функция  f (x) имеет вид:

f (x) = (x^7 + 2 * x^5 - 4) / (3 * x^7 + 12);

Упрощение дробной функции f (x)

Заметим, что числитель и знаменатель дробной функции f (x) являются многочленами. Для решения задачи:

• найдем, какова наибольшая ступень n у многочленов в числителе и знаменателе функции f (x);
• разделим числитель и знаменатель функции f (x) на выражение x^n;
• найдем предел функции, вычислив пределы для каждого из слагаемых в числителе и знаменателе.

Максимальная ступень n у многочленов в числителе и знаменателе функции f (x) одинакова 7:

n = 7;

Соответственно, разделим почленно и числитель, и знаменатель дроби на x^7. Получим:

f (x) = (x^7 / x^7  + 2 * x^5 / x^7 4 / x^7) / (3 * x^7 / x^7 + 12 / x^7);

f (x) = (1 + 2 / x^2 4 / x^7) / (3 + 12 / x^7);

Вычисление предела А = lim _xf (x)

Используем дальше для вычисления предела свойство степенной функции:

lim _x(1 / x^n) = 0;

при n gt; 0, а также то, что:

lim _x(С) = С;

для неизменной величины С.

В случае нашего предела, получаем:

А = lim _xf (x) = lim _x((1 + 2 / x^2 4 / x^7) / (3 + 12 / x^7));

A = (lim _x(1) + lim _x(2 / x^2) lim _x(4 / x^7)) / (lim _x(3) + lim _x(12 / x^7));

A = (1 + 2 * lim _x(1 / x^2) 4 * lim _x(1 / x^7)) / (3 + 12 * lim _x(1 / x^7));

Дальше:

А = (1 + 2 * 0 4 * 0) / (3 + 12 * 0) = 1/3;

Ответ: разыскиваемый предел функции равен 1/3.

Выражение (x^7 + 2x^5 - 4)/(3x^7 + 12) можно представить в виде суммы х^7 / (3х^7 +12) + 2 х^5 / (3х^7 +12) - 4 / (3х^7 +12).

Так как в первом слагаемом в разделяемом и делителе число х возводится в одну и ту же ступень, то при х устремляющемся к бесконечности результат деления будет стремиться к результату разделенья множителей при х, то есть 1/3. Во втором слагаем в делимом х стоит в пятой ступени, а в делителе в седьмой, означает, 2-ое слагаемое стремится к нулю. В 3-ем слагаемом разделяемое число -4, делитель 3х^7 +12, итог также устремляется к нулю.

1/3+0+0=1/3.

Ответ: 1/3.