A^3+b^3+c^3-3abc-разложить на множители

Воспользуемся формулой куба суммы трёх слагаемых:
( a + b + c )^3 =
a^3 + b^3 + c^3 + 3 * a^2 * b + 3 * a^2 * c + 3 * a * b^2 + 3 * a * c^2 + 3 * b^2 * c + 3 * b * c^2 + 6 * a * b * c .

Тогда разыскиваемое:

a^3 + b^3 + c^3 - 3 * a * b * c =
( a + b + c )^3 - 9 * a * b * c - 3 * a^2 * b - 3 * a^2 * c - 3 * a * b^2 - 3 * a * c^2 - 3 * b^2 * c - 3 * b * c^2 .

Для сокращения записей обозначим разыскиваемое как x ( икс ):

x = ( a + b + c )^3 - 9 * a * b * c - 3 * a * ( a * b + a * c ) - 3 * a * ( b * b + c * c ) - 3 * b * c * ( b + c ) ;

x = ( a + b + c )^3 - 6 * a * b * c - 3 * ( b + c ) * ( a * a + b * c * ) - 3 * a * ( b * c + b * b + c * c ) ;

x = ( a + b + c )^3 - 3 * a * b * c - 3 * ( b + c ) * ( a * a + a * b + a * c + b * c * ) ;

x = ( a + b + c )^3 - 3 * a * ( b + c ) * ( a + b + c ) - 3 * ( a + b + c ) * b * c ;

x = ( a + b + c )^3 - 3 * ( a + b + c ) * ( a * b + a * c + b * c ) ;

a^3 + b^3 + c^3 - 3 * a * b * c = ( a + b + c ) * ( ( a + b + c )^2 - 3 * ( a * b + a * c + b * c ) ) ;

a^3 + b^3 + c^3 - 3 * a * b * c = ( a + b + c ) * ( a^2 + b^2 + c^2 - a * b - a * c - b * c ) .

Условиям задачки удовлетворяют заключительные две формулы.

   Разложите на множители выражение:

      a + b + c 3abc.

   Решение.

  Преображение с поддержкою формулы для куба суммы 2-ух выражений

      Для преобразований воспользуемся формулой для возведения бинома в куб:

      (x + y) = x + 3xy + 3xy + y.

   Для удобства преобразований обозначим исходный многочлен Q:

      Q = a + b + c 3abc. (1)

   С помощью формулы для куба суммы выражений "b" и "с" получим:

      (b + c) = b + 3bc + 3bc + c;

      (b + c) = b + c + 3bc(b + c), отсюда

      b + c = (b + c) - 3bc(b + c). (2)

   Подставив значение для b + c из уравнения (2) в уравнение (1), получим:

      Q = a + (b + c) - 3bc(b + c) - 3abc.

  Преображенье с подмогою формулы для суммы кубов двух выражений

   Воспользуемся формулой для суммы кубов:

      x + y = (x + y)(x - xy + y).

   Применим эту формулу для выражений "a" и "b + c", а для остальных членов многочлена вынесем общий множитель "- 3bc":

• Q = a + (b + c) - 3bc(b + c) - 3abc;
• Q = (a + b + c)(a - a(b + c) + (b + c)) - 3bc(b + c + a);
• Q = (a + b + c)(a - ab - ac + b + 2bc + c) - 3bc(a + b + c).

   Вынесем общий множитель (a + b + c) и приведем подобные члены:

      Q = (a + b + c)(a - ab - ac + b + 2bc + c - 3bc);

      Q = (a + b + c)(a + b + c - ab - ac - bc).

   Ответ:

      a + b + c 3abc = (a + b + c)(a + b + c - ab - ac - bc).