Найдите наибольшее целое число x , для которого существует целое y,

Нам задано выражение x^2 - xy - 2y^2 = 9, знаменито, что х и у целые числа. 

Найдем пару наибольшее целых чисел (х; у) для которых выполняется данное равенство.

Решать задачку будем по методу:

• разложим выражение в левой доли уравнения на множители;
• подберем вероятные значения для множителей из левой части уравнения;
• обретаем целые решения уравнения;
• избираем наибольшее целое решение уравнения.

Разложим на множители левую часть равенства

Чтоб разложить на множители выражение в левой доли уравнения представим слагаемое - ху  в виде: ху - 2ху, получим:

x^2 + xy - 2xy - 2y^2 = 9;

x(x + y) - 2y(x + y) = 9;

(x + y)(x - 2y) = 9.

Так как корнями уравнения являются целые числа, то и выражения (х + у) и (х - 2у) целые числа.

Выбираем вероятные значения множителей левой доли уравнения и обретаем целые решения

В правой доли уравнения разложим на обыкновенные множители число 9.

9 = 1 * 9 = (- 1) * (- 9) = 3 * 3 = (- 3) * (- 3).

Означает вероятны такие варианты значений выражений:

х + у =  1, а х - 2у =  9;

Последовательно найдем разность каждого из выражений:

(х + у) - (х - 2у) = х + у - х + 2у = 3у =  8;

3у =  8;

у =  8/3 в итоге мы получаем у не целым числом.

х + у =  9, а х - 2у =  1.

(х + у) - (х - 2у) = х + у - х + 2у = 3у =  8;

3у = 8;

у =   8/3 у не целое число.

Остается только один вариант:

х + у =  3; х - 2у =  3.

Находим разность выражений:

(х + у) - (х - 2у) = х + у - х + 2у = 3у = 0.

3у = 0;

у = 0.

Данное решение нам подходит (так как ноль является целым числом).

Найдем значение переменной х.

х + у =  3;

х =  3.

Выбираем наибольшее целое решение уравнения

Целым решение уравнений является две пары чисел (- 3; 0) и (3; 0).

Пара очень целых чисел (3; 0).

Ответ: (3; 0).

Решим уравнение x^2 - xy - 2y^2 = 9 как квадратное условно х:

x^2 - xy - 2y^2 - 9 = 0;

D = (- у)^2 - 4 * (- 2y^2 - 9) = у^2 + 8у^2 + 36 = 9(у^2 + 4).

Из 2-ух вероятных значений х наивеличайшим будет то, которое рассчитывается по формуле со знаком плюс перед дискриминантом:

х = (- (- у) + (9(у^2 + 4))) / (2 * 1) = (у + 3(у^2 + 4)) / 2.

Так как х и у обязаны быть целыми числами, то значение выражения обязано быть желая бы разумным числом, что вероятно только при у = 0:

х = (0 + 3 * (0^2 + 4)) / 2 = 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.