Запись естественного числа состоит только из цифр 3 и 7, а

1. Найдем такую сумму, составленную только из чисел 3 и 7, которая бы делилась и на 3 и на 7. Для этого нужно отыскать меньшее общее кратное чисел 3 и 7. Оно будет одинаково 21. Все числа, которые делятся сразу на 3 и на 7 будут делиться и на 21, как следует, можем осматривать только суммы кратные 21: 21, 42, 63, 84 и так дальше.

2. 21 не раскладывается в сумму, состоящую из троек и семерок одновременно. Зато 21 раскладывается как 3+3+3+3+3+3+3 либо как 7+7+7.

3. Следующая разглядываемая сумма 42. Представим ее в последующем виде: 42 = 21 + 21 = (3+3+3+3+3+3+3) + (7+7+7).

4. Подходящее число в записи имеет семь троек и три семерки. Чтоб оно было минимальным, нужно расположить тройки в старших разрядах числа, а семерки в младших.
Ответ: 3333333777.

  Количество троек и семерок в разыскиваемом числе

   Нужно отыскать меньшее естественное число, которое состоит только из цифр 3 и 7, а сумма цифр делится на 3 и на 7.

   Представим, что разыскиваемое естественное число N содержит m цифр 3 и n цифр 7. Тогда для суммы цифр S этого числа получим выражение:

      S = 3 * m + 7 * n.

   По условию задачи число S делится на 3 и на 5.

   Проверим условие делимости числа S на 3 и на 7 попеременно.

  Сумма цифр искомого числа делится на 3

   Если естественное число S делится на 3, то его можно представить в виде:

      S = 3 * p, где p - натуральное число: p N.

• 3 * m + 7 * n = 3 * p;
• 7 * n = 3 * p - 3 * m;
• 7 * n = 3 * (p - 3). (1)

   Из уравнения (1) следует, что число n делится на 3, т. е. количество семерок в числе N кратно 3.

  Сумма цифр искомого числа делится на 7

   Если естественное число S делится на 7, то его можно представить в виде:

      S = 7 * q, где q - натуральное число: q N.

• 3 * m + 7 * n = 7 * q;
• 3 * m = 7 * q - 7 * n;
• 3 * m = 7 * (q - 7). (2)

   Из уравнения (2) следует, что число m делится на 7, т. е. количество троек в числе N кратно 7.

  Меньшее разыскиваемое число

   Так как в записи числа обе числа присутствуют, а количество семерок в числе N кратно 3 и количество троек в числе N кратно 7, то меньшее число получим в том случае, когда число состоит из 7 троек и 3 семерок. А посреди этих чисел минимальным будет то, в котором тройки записаны в старших разрядах, а пятерки - в младших разрядах, т. е. число: 3 333 333 777.

   Ответ: 3 333 333 777.