Найдите сумму натуральных чисел меньше 102 и кратных 4

Для этого:

• покажем, естественные числа,  кратные 4 образуют подрастающую арифметическую прогрессию;
• найдем первый член и разность этой арифметической прогрессии;
• вычислим количество членов данной прогрессии, наименьших чем 102;
• найдем сумму всех членов данной прогрессии, наименьших чем 102.

Решение задачи.

Покажем, натуральные числа,  кратные 4 образуют подрастающую арифметическую прогрессию

Сообразно определению, каждый член арифметической прогрессии является суммой предшествующего члена этой прогрессии и некоторого неизменного для всей прогрессии числа d, именуемого разностью арифметической прогрессии.

Каждое натуральное число, кратное 4 можно представить в виде 4n, где n  некое целое число.

Осмотрим последовательность естественных чисел аn вида а_n = 4n.

Выразим n+1-й член данной последовательности через n-й:

а_n+1 = 4 * (n + 1) = 4n + 4 = а_n + 4.

Следовательно, каждый член данной последовательности является суммой предшествующего члена этой последовательности и числа 4, а значит, данная последовательность является подрастающей арифметической прогрессией с разностью d = 4.

Найдем, чему равен 1-ый член данной последовательности:

а₁ = 4 * 1 = 4.

Вычислим количество членов данной прогрессии, меньших чем 102

Найдем 1-ый член данной последовательности, больший либо одинаковый 102.

Для этого решим в целых числах неравенство:

4n gt; 102.

Разделив обе доли неравенства на 4, получаем:

4n / 4 gt; 102 / 4;

n gt; 102/4;

n gt; 51/2;

n gt; 25 1/2.

Наименьшее целое решение данного неравенства это n = 26.

Как следует, 26-й член данной прогрессии является первым ее членом, большим либо одинаковым 102.

Поскольку данная прогрессия возрастает, то члены этой прогрессии с первого по 25-й будут наименьшими, чем 102, а все члены этой прогрессии начиная с 26-го будут великими, чем 102.

Найдем сумму 25-ти первых членов данной прогрессии

Подставляя в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * а₁ + d * (n - 1)) * n / 2 значения а₁ = 4, d = 4, n = 25, получаем:

S₂₅ = (2 * а₁ + d * (25 - 1)) * 25 / 2 = (2 * а₁ + d * 24) * 25 / 2 = 2 * (а₁ + d * 12) * 25 / 2 = (а₁ + d * 12) * 25 = (4 + 4 * 12) * 25 = (4 + 48) * 25 = 52 * 25 = 1300.

Ответ: разыскиваемая сумма одинакова 1300.