2/1*3+2/3*5+2/5*7+...+2/99*101?

Расставим скобки:

2/(1 * 3) + 2/(3 * 5) + 2/(5 * 7) + ... + 2/(99 * 101).

Заметим, что 3 1 = 2, 5 3 = 2, 7 5 = 2, , 101 99 = 2; (1 * 3), (3 * 5), , (99 * 101) это общие делители.

Значит, каждую дробь в сумме можно представить в виде:

2/(1 * 3) = 1/1 1/3,

2/(3 * 5) = 1/3 1/5,

2/(5 * 7) = 1/5 1/7.

И так дальше.

2/(99 * 101) = 1/99 1/101.

Тогда перепишем сумму и найдем итог.

1/1 1/3 + 1/3 1/5 + 1/5 1/7 + + 1/99 1/101 = 1 1/101 = 100/101.

Найдем значение выражения 2/(1 * 3) + 2/(3 * 5) + 2/(5 * 7) + ... + 2/(99 * 101)

Из выражения получаем:

• 2/(1 * 3) = 1/1 1/3;
• 2/(3 * 5) = 1/3 1/5;
• 2/(5 * 7) = 1/5 1/7;
• 2/(99 * 101) = 1/99 1/101.

Тогда, подставляя отысканные значения в виде дробей в изначальное выражение, то получим: 

2/(1 * 3) + 2/(3 * 5) + 2/(5 * 7) + + 2/(99 * 101) = (1/1 1/3) + (1/3 1/5) + (1/5 1/7) + + (1/99 1/101);

Поначалу раскрываем скобки. Если перед скобками стоит символ минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на обратный символ. Если же перед скобками стоит символ плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

(1/1 1/3) + (1/3 1/5) + (1/5 1/7) + + (1/99 1/101) = 1/1 1/3 + 1/3 1/5 + 1/5 1/7 + + 1/99 1/101;

Сгруппируем сходственные значения и вычислим его значение

1/1 1/3 + 1/3 1/5 + 1/5 1/7 + + 1/99 1/101 = 1/1 + (1/3 1/3) + (1/5 1/5) + (1/7 1/7) + + (1/99 1/99) 1/101;

Сначала в порядке очереди находим значение выражения в скобках, затем вычисляем умножение либо разделение, позже проводятся деянья сложения либо вычитания. То есть получаем:

1/1 + (1/3 1/3) + (1/5 1/5) + (1/7 1/7) + + (1/99 1/99) 1/101 = 1/1 + 0 + 0 + 0 + 0 1/101 = 1/1 1/101;

Приведем выражение к общей дроби. Сначала, общий знаменатель разделяем на каждый знаменатель дроби и умножаем на его числитель. Потом полученную сумму из первой дроби вычитаем полученную сумму из 2-ой дроби. Разность записываем в числителе, а в знаменателе будет общий знаменатель. То есть получаем:  

1/1 1/101 = (1 * 101 1 * 1)/(1 * 101) = (101 1)/(1 * 101) = 100/(1 * 101) = 100/101;

В итоге получили, что выражение 2/(1 * 3) + 2/(3 * 5) + 2/(5 * 7) + ... + 2/(99 * 101) = 100/101.