Найдите все значения а,при которых уравнение не имеет решений a(x^2+x^-2)-(a+1)(x+x^-1)+5=0

a(x² + x^-2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0

Попробуем представить данное уравнение в виде квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ах² + вх + с = 0.

Если бы заместо (x² + x^-2) стояла скобка в квадрате, то наше уравнение было бы квадратным.

Представим, что (x² + x^-2) одинаково (x + x^-1)².

• Раскроем скобку по формуле квадрата суммы (x + x^-1)²  = х² + 2 * х * х^-1 + (х^-1)² = х² + 2 + х^-2
• то есть (x + x^-1)² = (x² + x^-2) + 2
• другими словами, скобка (x² + x^-2) = (x + x^-1)² - 2

Производим замену

а((x + x^-1)² - 2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0

а(x + x^-1)² - 2а - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0

а(x + x^-1)² - (a + 1)(x + x^-1) + 5 - 2а = 0

Пусть (x + x^-1) = у

Вышло квадратное уравнение.

ау² - (а + 1)у + (5 - 2а) = 0

По условию, данное выражение не имеет корней, то есть дискриминант меньше нуля.

Выразим дискриминант.

D = (а + 1)² - 4 * а * (5 - 2а) = (а² + 2а + 1²) - 4а(5 - 2а) = а² + 2а + 1 - 20а + 8а² =  9а² - 18а + 1

Выходит неравенство 9а² - 18а + 1 lt; 0

Найдем корни данного квадратного многочлена.

 9а² - 18а + 1 = 0 (квадратичная функция, ветки ввысь)

D = 18² - 4 * 9 = 324 - 36 = 288

а₁ = (18 + кв.корень из 288)/18 = 1 + (12*кв.корень из 2) (16,6)

а₂ = (18 - кв.корень из 288)/18 = 1 - (12*кв.корень из 2) ( -14,6)

Расположив данные значения на координатной прямой, найдем решение неравенства.

Функция lt; 0 на интервале от 1 - (12*кв.корень из 2) до 1 + (12*кв.корень из 2).

Ответ: выражение a(x² + x^-2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0 не имеет корней при а, принадлежащему интервалу (1 - (12*кв.корень из 2); 1 + (12*кв.корень из 2)).

   A. Перепишем отрицательные ступени в виде дроби:

      a(x^2 + x^(-2)) - (a + 1)(x + x^(-1)) + 5 = 0;

      a(x^2 + 1/x^2) - (a + 1)(x + 1/x) + 5 = 0. (1)

   B. Обозначим:

      y = x + 1/x;

      x^2 - yx + 1 = 0; (2)

      D = y^2 - 4.

   Нет решений при D lt; 0;

      y^2 - 4 lt; 0;

      y^2 lt; 4;

      y (-2; 2). (3)

   При этих значениях y уравнение (1) не имеет решений.

   C. Вычислим y^2:

      y^2 = (x + 1/x) = x^2 + 2 + 1/x^2.

   Как следует,

      x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2.

   D. Подставим значения этих выражений в уравнение (1):

      a(y^2 - 2) - (a + 1)y + 5 = 0;

      ay^2 - (a + 1)y - (2a - 5) = 0. (4)

   E. Осмотрим два варианта:

   1. a = 0.

      -y + 5 = 0;

      y = 5.

   При a = 0 уравнение (4) имеет единственное решение y = 5, не принадлежащее интервалу (3), следовательно, в этом случае уравнение (1) имеет решение.

   2. a