Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по тринадцатый включительно одинакова 55

Сумму членов S арифметической прогрессии с третьего по тринадцатый включительно можно представить в последующем виде:

S = S13 - а1 - а2,

где S13  сумма первых 13-ти членов данной  арифметической прогрессии, а1   ее 1-ый член, а а2   ее 2-ой член.

Используя определение арифметической прогрессии,можем записать:

а2 = а1 + d,

где d - разность арифметической прогрессии.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 13, получаем:

S13 = (2 * a1 + d * (13 - 1)) * 13 / 2 = (2 * a1 + d * 12) * 13 / 2 =  2 * (a1 + d * 6) * 13 / 2 = (a1 + d * 6) * 13 = 13а1 + 78d.

Подставляя данные значения а2 и S13 в соотношение S13 - а1 - а2 = 55, получаем:

13а1 + 78d - а1 - а1 - d = 55;

11а1 - 77d = 55;

11 * (а1 + 7d) = 55;

а1 + 7d = 55 / 11;

а1 + 7d = 5.

Сообразно условию задачи, an = 5.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d, получаем:

a1 + (n - 1) * d = 5.

Вычитая из данного соотношения соотношение а1 + 7d = 5, получаем:

a1 + (n - 1) * d - а1 - 7d = 5 - 5.

(n - 1) * d - 7d = 0;

d * (n - 1 - 7) = 0;

d * (n - 8) = 0.

Из приобретенного соотношения следует, что n = 8.

Ответ: n = 8.