В классе в течение недели 20 воспитанников получили хотя бы одну

Все те воспитанники, кто получил по две пятёрки, получили желая бы одну пятёрку. Означает, их посчитали в обе группы. Тогда ровно одну пятёрку получили 20 - 15 = 5 воспитанников.

Подобно, ровно две пятёрки получили 15 - 13 = 2 ученика, ровно три 13 - 8 = 5 учеников, ровно 4 8 - 3 = 5 учеников. Считаем, что оставшиеся три воспитанника получили не просто "не наименее пяти пятёрок", а ровно по пять, по другому задача не имеет смысла.

Тогда всего в классе пятёрок оказалось 5*1 + 2*2 + 5*3 + 5*4 + 3*5 = 5 + 4 + 15 + 20 +15 = 59.

Ответ: всего ученики класса получили 59 пятёрок.