Сколькими нулями заканчивается творенье первых 2016 естественных чисел?

Решение:

1. Для того, чтобы найти все естественные числа, необходимо расписать число:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 *11 ... * 2015 *2016;

2. От 5 до 2015 ровно (2015-5)/5 + 1 = 403 числа, делящихся на 5.

3. От 25 до 2000 ровно 80 чисел, делящихся на 25 (2 пятерки).

4. От 125 до 2000 ровно 16 чисел, делящихся на 125 (3 пятерки).

5. От 625 до 1875 ровно 3 числа, делящихся на 625 (4 пятерки).

Получаем 403 + 80 + 16 + 3 = 502 пятерки.

Ответ: 502 нуля.

  Количество нулей в конце числа

   Количество нулей в конце числа определяется количеством десяток, содержащихся в данном числе, при разложении его на множители.

   Но так как 10 = 2 * 5, то количество нулей будет совпадать с количеством тех множителей, которых меньше всего посреди первых 2016 чисел. Явно, посреди этих чисел двоек еще больше, чем пятерок, следовательно, определяющим будет количество пятерок.

  Количество пятерок в разных ступенях

   Количество пятерок зависит от того, сколько чисел делится на 5, 25, 125 и 625, т. е. на ступени числа 5. Заметим, что 5^5 = 3125 gt; 2016, потому ни одно число не содержит 5 пятерок.

   Разделим число 2016 на 5, отбросив остаток, до тех пор, пока в приватном не получим число, меньше 5:

      2016 = 2015 + 1 = 5 * 403 + 1;

      403 = 400 + 3 = 5 * 80 + 3;

      80 = 5 * 16;

      16 = 15 + 1 = 5 * 3 + 1.

   Из этих записей следует, что:

1. среди первых 2016 чисел 403 числа делятся на 5;
2. из их 80 чисел делятся на 5^2 = 25;
3. из их 16 чисел делятся на 5^3 = 125;
4. из их 3 числа делятся на 5^4 = 625.

  Общее количество пятерок от всех ступеней

• Количество пятерок в числах, кратных 5, взятых по одному множителю - 403;
• Количество пятерок в числах, кратных 25, взятых по второму множителю - 80;
• Количество пятерок в числах, кратных 125, взятых по третьему множителю - 16;
• Количество пятерок в числах, кратных 625, взятых по четвертому множителю - 3.

   Как следует, количество всех пятерок посреди 2016 первых чисел одинаково:

      403 + 80 + 16 + 3 = 502.

   Стало быть, столькими нулями заканчивается творенье первых 2016 чисел.

   Ответ: 502 нулями.